专题06大题易丢分（20题）-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学（文）黄金30题

1．椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为的上顶点，的内切圆面积为． （1）求的方程； （2）过的直线交于点，过的直线交于，且，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】分析：（1）由离心率得，由圆面积得圆半径，而的面积，一方面等于，另一方面等于，两者相等得，再结合可解得，得椭圆方程； 详解：（1）设内切圆的半径为，则，得 设椭圆的焦距，则， 又由题意知， 所以 ， 所以， 结合及，解得， 所以的方程为． （2）设直线的交点为， 则由知，点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为． 该圆在椭圆内，所以直线的交点在椭圆内，从而四边形面积可表示为． ①当直线与坐标轴垂直时， ． ②当直线与坐标轴不垂直时，设其方程为，设， 联立，得，其中， ，所以． 由直线的方程为，同理可得． 所以 ． 令，所以， 令，所以，从而． 综上所述，四边形面积的取值范围是． 点睛：本题以椭圆与直线的位置关系为背景，以椭圆的轨迹方程为主要考查内容，考查观察分析、推理论证、数学运算等数学能力，考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想．对直线与椭圆相交问题，本题中的解法常称为“设而不求”． 2．已知函数（）． （1）为的导函数，讨论的零点个数； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】分析：(1)先对原函数求导，从而判断单调性，再分类讨论即可得到的零点个数； (2)设，求的最值，再转化为在上恒成立，求其最值，即可使其小于或等于零构造不等式即可． ②时，，有唯一零点； ③时，， 取，，则，， 于是在和内各有一个零点，从而有两个零点． （2）令，， ，， ． ①当时，由（1）知，，所以在上递增，知，则在上递增，所以，符合题意； ②当时，据（1）知在上递增且存在零点，当时，所以在上递减，又，所以在上递减，则，不符合题意． 综上，． 点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，在解题的过程中，需要对求导公式熟练掌握，要理解函数的零点的概念，通过函数图像的走向，借助于最值的符号得到零点的个数，需要对参数进行讨论，再者就是有关不等式恒成立问题，大多采用分离参数，构造新函数，利用最值得到结果，无论求什么，都需要时刻记着先保证函数的生存权，即定义域优先． 3．已知函数，（其中为参数）． （1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的单调区间； （3）求函数的极值． 【答案】(1) ． (2) 的单调增区间为，单调减区间为． (3) 时，，无极小值； 当时，，无极大值； 当时，，，． 【解析】分析：（1）由题意得对任意，恒成立，求得，故．（2）由题意知当时，，又，列表可得函数的变化情况，由此可得函数的单调区间．（3）求导数得（），又由（1）得，然后分和三种情况讨论函数的单调性，从而可得所求的极值． 详解：（1）∵对任意，不等式恒成立， ∴对任意，恒成立． 又， ∴当时，单调递增；当时，单调递减． 故， ∴． ∴实数的取值范围． （2）∵， ∴． 当时，， 由（1）知，即，当且仅当时等号成立． 令，得． 当变化时，的变化情况如下表： 极大值 由上表可得的单调增区间为，单调减区间为． （3）由题意得（）， 由（1）知，又，故． ①当时，，此时在上递增，在上递减； 所以，无极小值． ②当时，，此时在上递减，在上递增， 所以，无极大值； ③当时， 令，下面证在，上各有一个零点． 因为，，在上递减且连续， 所以在上有唯一零点，且， 易证时，， 故， 又，在上递增且连续， 所以在上有唯一零点，且， 故在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， 所以，，． 综上得： 当时，，无极小值； 当时，，无极大值； 当时，，，． 点睛：（1）解决恒成立问题时，常用的方法是分离参 ... ...