函数的概念 一、考点突破 1. 理解函数的概念，了解函数构成的要素； 2. 会求一些简单函数的定义域，函数值，知道两函数相等的条件。 二、重难点提示 重点：函数的三要素：定义域、值域和对应关系； 难点：一些简单函数的定义域的求法。 1. 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝f（x），x∈A。 2. 函数的定义域、值域 在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。两个函数的定义域和对应法则完全一致时，则认为两个函数相等。 3. 常见函数定义域的求法 （1）分式函数中分母不等于零。 （2）偶次根式函数被开方式大于或等于0。 （3）一次函数、二次函数的定义域为R。 【重要提示】在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点。 4. 函数解析式的求法 求函数解析式的常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法。 例题1 有以下判断： ①f（x）＝与g（x）＝表示同一函数； ②函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一函数； ④若f（x）＝|x－1|－|x|，则＝0； 其中正确判断的序号是_____。 思路分析：对于（1），由于函数f（x）＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g（x）＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于（2），若x＝1不是y＝f（x）定义域的值，则直线x＝1与y＝f（x）的图象没有交点，如果x＝1是y＝f（x）定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f（x）的图象只有一个交点，即y＝f（x）的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于（3），f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，所以f（x）和g（t）表示同一函数；对于（4），由于＝－＝0，所以＝f（0）＝1。 综上可知，正确的判断是（2）（3）。 答案：（2）（3） 例题2 给出下列两个条件： （1）f（＋1）＝x＋2； （2）f（x）为二次函数，且f（0）＝3，f（x＋2）－f（x）＝4x＋2，请试着分别求出f（x）的解析式。 思路分析：（1）将 +1 当作一个整体，利用换元法设其为t，求出f(t)关于t的函数关系式，就是f(x)的解析式。 （2）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，先求出c，再代入到f(x+2)-f(x)=4x+2中，根据一次项系数与常数项分别相等，列出关于a,b的方程即可分别求出a,b. 答案：解：（1）令t＝＋1，∴t≥1，x＝（t－1）2， 则f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1， ∴f（x）＝x2－1（x≥1）； （2）设f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0），又f（0）＝c＝3， ∴f（x）＝ax2＋bx＋3， ∴f（x＋2）－f（x）＝a（x＋2）2＋b（x＋2）＋3－（ax2＋bx＋3）＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2， ∴，∴， ∴f（x）＝x2－x＋3。 【方法提炼】 1. 函数三要素 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同时，函数才是同一函数。 特别值得说明的是，对应关系是就结果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同），而不是指形式上的，即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断。 2. 函数定义域的求解方法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集。 复合函数求定义域的方法 （1）若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域； （2）若的 ... ...
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