母题7 圆锥曲线几何性质 【母题原题1】【2018天津，理7】 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意首先求得的坐标，然后利用点到直线距离公式求得的值，之后求 则，则，双曲线的离心率：， 据此可得：，则双曲线的方程为，故选C． 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可． 【母题原题2】【2017天津，理5】 已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 x,kw A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意得，选B． 【考点】 双曲线的标准方程 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程． 【母题原题3】【2016天津，理4】 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A．xk%w 考点：双曲线渐近线 【母题原题4】【2015天津，文5理6】 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力． 【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题，虽有一定的综合性，但方法容易想到，仍属于基础题．不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因． 【命题意图】本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本知识的理解，以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）、与圆锥曲线定义有关的问题、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知识的理解与简单的应用． 【命题规律】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题与填空题的形式出现，也会出现在解答题中第一问，难度一般中等，有时中等偏上，一般不会作为把关题，在考查内容上一般以求离心率，求双曲线的渐近线，求最值，求范围，利用性质求曲线方程等，着重考查对基本概念和基本性质的理解与应用，题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定，计算量比过去减少，但思考量增大，思维层次的要求并没有降低．若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功． 【答题模板】以2017年高考题为例，求取椭圆或双曲线离心率，一般可由下面三个方面着手： （1）根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值； （2）已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围． （3）求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系． 总体来说，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数． 【方法 ... ...
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