第2章 对称图形———圆 2.4 第1课时 圆周角的概念与性质 知识点 1 圆周角的定义 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是( ) 图2－4－1 知识点 2 圆周角的性质及运用 2．教材练习第2题变式如图2－4－2，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则所对的圆周角有_____个，分别为_____，它们之间的数量关系是_____，所对的圆心角有_____个，为_____．若∠BAC＝35°，则∠BDC＝_____°，∠BOC＝_____°. 图2－4－2 图2－4－3 3．[2017·衡阳] 如图2－4－3，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上．如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( ) A．26° B．30° C．32° D．64° 4．[2017·哈尔滨] 如图2－4－4，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是( ) A．43° B．35° C．34° D．44° 图2－4－4 图2－4－5 5．[2017·武威] 如图2－4－5，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32，则∠C＝_____. 6．[2017·随州] 如图2－4－6，已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB的两侧，连接AD，CD，OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝____. 图2－4－6 图2－4－7 7．[2017·包头] 如图2－4－7，A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝_____°. 8．如图2－4－8，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是上一点，连接BD，E是BD上一点，且BE＝CD.求证：∠AED＝∠ADE. 图2－4－8 9．如图2－4－9所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE.求证：∠D＝∠B. 图2－4－9 10．如图2－4－10，在⊙O中，直径CD⊥弦AB.若∠C＝25°，则∠ABO的度数是( ) A．25° B．30° C．40° D．50° 图2－4－10 图2－4－11 11．[2016·吴江青云中学二模] 如图2－4－11，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E.若∠C＝15°，AB＝6 cm，则⊙O的半径为_____cm. 12．已知：如图2－4－12，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且＝，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交其延长线于点E. 求证：DE＝BF. 图2－4－12 13．如图2－4－13，在半径为5 cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝50°，∠APD＝80°. (1)求∠ABD的大小； (2)求弦BD的长． 图2－4－13 14．如图2－4－14所示，AD是⊙O的直径． 图2－4－14 (1)如图(a)，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是_____，∠B2的度数是_____； (2)如图(b)，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数； (3)如图(c)，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)． 详解详析 1．C 2．3 ∠BAC，∠BEC，∠BDC 相等 1 ∠BOC 35 70 3．C 4.B 5．58 6.35 7.20 8．证明：在△ABE和△ACD中， ∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE. 9．证明：∵AB，CD是⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠COB， ∴＝. 又∵DF＝BE，∴＝， ∴－＝－，即＝， ∴ ＋＝＋， 即＝， ∴∠D＝∠B. 10．C [解析] ∵在⊙O中，直径CD⊥弦AB， ∴＝， ∴∠DOB＝2∠C＝50°. ∴∠ABO＝90°－∠DOB＝40°. 11．6 [解析] 连接OA，如图所示，则∠AOE＝2∠C＝30°.∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3 cm，∴OA＝2AE＝6 cm，即⊙O的半径为6 cm. 12．证明：∵＝， ∴∠BAC＝∠EAC，CB＝CD. ∵CE⊥AE，CF⊥AF， ∴CE＝CF. 在Rt△CED和Rt△CFB中， ∴Rt△CED≌Rt△CFB(HL)， ∴DE＝BF. 13．：(1)∵∠APD是△APC的外角，∠CAB＝50°，∠APD＝80°， ∴∠C＝∠APD－∠CAB＝80°－50°＝30°， ∴∠ABD＝∠C＝30°. (2)过点O作OE⊥BD于点E，则BD＝2BE. ∵∠ABD＝30°，OB＝5 cm， ∴OE＝OB＝ cm， ∴BE＝ cm， ∴BD＝2BE＝5 cm. 14． ... ...
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