第4讲 计数问题总复习（二）

第四讲 计数问题总复习（二） 模块一、排列组合： 排列数公式：； 全排列公式：； 组合数公式：； 关于组合数的几个重要结论： ；；。 例1．一台晚会上有6个演唱节目和四个舞蹈节目，求： （1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有 种不同的安排方法； （2）当要求两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目时，一共有 种不同的安排方法。 解：（1）4个舞蹈节目看做一个大节目，与6个演唱节目排序，同时4个舞蹈节目内部有顺序， 所以一共有=120×24=2880种不同的安排方法； （2）把4个舞蹈节目插入到排好顺序的6个演唱节目中， 所以一共有种不同的安排方法； 例2．在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡。 （1）若要求有3名内科医生和2名外科医生，则有 种选派方法； （2）若要求既有内科医生又有外科医生，则有 种选派方法； （3）若要求至少有一名主任参加，则有 种选派方法； 解：（1）从6名内科医生中选3人，再从4名外科医生中选2人， 有=20×6=120种选派方法； （2）从10人选5人，有=252种方法，其中若5人全是内科医生的方法有=6种， 所以既有内科医生又有外科医生的方法有252?6=246种； （3）从10人中任意选派5人的方法中减去没有主任参加的方法种数， 即=252?56=196（种）方法。 例3．（1）10个苹果放入4个不同的盘子里，要求每个盘子至少1个，共有 种不同的方法； （2）有10个相同的球要分给3个小朋友，保证每个小朋友至少能分到2个球，共有 种不同的分法。 解：（1）把10个苹果排成一排，在中间9个空中插入3块插板，就把10个苹果分成了从左到右的4份， 所以一共有种不同的分法； 解法2：首先每个盘子中先放入1个，剩下的6个苹果再分配： 若6个苹果一起放入其中1个盘子中，有4种分法； 若6个苹果分成两份，有6=5+1、6=4+2、6=3+3，对于前两种分法，各有=12种分法，对于3+3的情况，有=6种分法，这样有12+12+6=30种分法； 若6个苹果分成三份，有6=2+2+2和6=3+2+1，6=4+1+1分别有=4和=24和=12种分法，共有4+24+12=40种分法； 若6个苹果分成4份，有6=3+1+1+1和6=2+2+1+1，分别有=4和=6，共有4+6=10种分法； 综上所述一共有4+30+40+10=84（种）分法。 （2）把10个球中拿出6个，分给3个小朋友，每人2个， 剩下的4个球排成一排，再加入两块插板，这样连球带插板一共有6个位置； 再从这6个位置中任意选2个，放入插板，其他位置放入球，于是这4个球被分成了3份（如果插板在边上，相当于它的空白一边放0个球，若两块插板挨在一起，它们之间也相当于有一个0）， 所以共有种分法。 例4．将书架上2本相同的漫画书、2本相同的故事书和3本相同的科学书排成一排，有 种不同的摆法。 解：将7本书排列，其中相同的的书交换位置与原来的没有变化， 所以一共有210（种）不同的摆法。 解2：在7个位置中选出3个位置放置科学书，剩下的4个位置中选2个放置漫画书，最后剩下的2个位置放故事书，有=35×6=210（种）不同的摆法。 模块二、概率问题： 例5．在一个不透明的袋子里，有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个是红球，2个是绿球，每次拿一个球然后放回去，拿2次，则至少有一次取到绿球的概率是 。 解：拿的方法一共有5×5=25种，两次都没有拿绿球的方法有3×3=9种， 所以至少一次取到绿球的概率是P=。 例6．妈妈去家乐福购物，正好碰上橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4种水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售，他也简单任选一种买回家，请问他们买了不同水果的概率是 。 解：相同的水果有橘子、香蕉和葡萄， 他们买了相同的水果的概率是， 所以买了不同水果的概率是P=1?=。 随 堂 练 习 1．用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次 ... ...