第15讲 分班考试之数论

第十五讲 分班考试之数论 模块一、整除特征： 2、5家族：2和5的整除看末位： 判断一个数能否被2，5整除，只需看这个数的末位是不是2，5的倍数； 判断一个数能否被4，25整除，只需要看其末两位是不是4，25的倍数； 判断一个数能否被8，125整除，只需要看末三位是不是8，125的倍数； 以此类推，可以不断地延续下去。 3、9家族：3和9的整除看数字和： 判断整除：一个数能否被9整除，只需看这个数的各个数位上的数字和是否是9的倍数即可。 1l：11的整除看数字差： 判断一个数能否被11整除，从右向左依次标位，把所有处于奇数位上的数字加起来，得到奇数位的和；所有处于偶数位上的数字加起来，得到偶数位的和；然后奇数位和与偶数位和相减(以大减小)所得的差如能被11整除，则这个数就能被11整除。 例如：判断136528是否为11的倍数： (1)从右向左标数位； (2)奇数位和：8+5+3=16；偶数位和：2+6+1=9，奇数位和?偶数位和=16?9=7； (3)7不是11的倍数，所以136528也不是11的倍数。 7，11，13的整除看数段差(7×l1×13=1001) 判断数能否被7整除，只需看把这个数从右向左三位一段分段，看成一个个三位数，然后标上奇偶数段，把奇数位上的三位数加起来，偶数位数上的三位数加起来，然后奇位和减去偶位和，最后看所得差能否被7整除即可，11和13的判断方法也是如此。 例如：判断123456789能否被7整除，三位一截，把这个数截成三个三位数；789，456，123， 奇数位上的三位数和=789+123=912；偶数位上的三位数和=456； 912?456=456，456不能被7整除，那么该数也不能被7整除 例1．一个五位数，空格中的数未知。如果该数能被72整除，这个五位数是 。 解：72=8×9，能被8整除，要求能被8整除，所以此时填6， 这样这个数为，又能被9整除，则8+□+2+5+6=21+□能被9整除，这个方格中也填6. 五位数是86256. 例2．已知51位数能被13整除，中间方格内的数字是 。 解：6个5写成555555能被13整除，同样999999能被13整除，25÷6=4……1， 于是只要能被13整除即可，又559÷13=43，所以中间方格内的数字是5. 模块二、短除模型 短除法 先找出所有共有的因数，然后相乘得到最大公因数；把外面所有的数连乘得到最小公倍数。 例如：，所以(12，18)=2×3=6，[12，18]=2×3×3×2=36. (多个数求最小公倍数时，需要短除到两两互质) 最大公因数与最小公倍数进阶 1．两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。 如果m为A、B的最大公因数，且A=ma，B=mb，那么a，b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系 M | A B a b A×B= ma×mb=m×mab，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积 ② 最大公因数是A、B、A+B、A?B及最小公倍数的因数。 2．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为： ①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数。 例如：5×6×7=210，210就是5，6，7的最小公倍数； ②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍。 例如：6×7×8=336，而6，7，8的最小公倍数为336÷2=168。 例3．已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公因数是30，若A=90，则B= 。 解：设B=30b，A=90，所以90b=180，b=2，得到B=60. 例4．两个自然数的和是125，它们的最大公因数是25，那么这两个数的差最小为 。 解：设A=25a，B=25b，且25(a+b)=125，所以a+b=5， 又要求这两个数的差最小，所以取a=3，b=2， 两个数分别为A=75，B=50，差为25. 模块三、质数综合： 例5．如果a、b均为质数，且3a+7b=41，则a+b= . 解：若a、b均为奇数质数，则3a+7b一定是偶数，矛盾， 说明a、b中一定有一个为偶数2。 若a=2，则7b=35，b=5；若b=2，则3a=27，a=9，（9不是质数，矛盾，舍去）， 所以只有a=2， ... ...