2019高考数学考点突破——概率：随机事件的概率

随机事件的概率 【考点梳理】 1．概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等关系 若B?A，且A?B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝? 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝? 且A∪B＝Ω 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式． ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 【考点突破】 考点一、随机事件间的关系 【例1】(1)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　) A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” (2)从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　　) A．①　　　　 B．②④ C．③　　　　 D．①③ [答案] (1) D (2) C [解析] (1)A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系． (2)从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件． 又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件． 【类题通法】 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生. (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2.判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. 【对点训练】 1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　) A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对 [答案] C [解析] 由互斥事件和对立事件的概念可判断，应选C. 2．袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为(　　) A．① B．② C．③ D．④ [答案] B [解析] 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.故②中两事件是对立事件.③④不是互斥事件，① ... ...