任意角、弧度制及任意角的三角函数 【考点梳理】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①角度与弧度的换算： a．1°＝ rad；b.1 rad＝°. ②弧长公式：l＝r|α|. ③扇形面积公式：S＝lr＝r2α. 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象 限符 号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函 数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 【考点突破】 考点一、角的有关概念 【例1】(1)若α是第二象限角，则一定不是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝_____. [答案] (1) C (2) －675°或－315° [解析] (1)∵＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋<<＋，k∈Z.若k＝3n(n∈Z)，是第一象限角；若k＝3n＋1(n∈Z)，是第二象限角；若k＝3n＋2(n∈Z)，是第四象限角．故选C. (2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°. 【类题通法】 1．与角α终边相同的角可以表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用． 2．由α所在象限，判定所在象限，应先确定的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论． 【对点训练】 1．若角α是第二象限角，则是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 [答案] C [解析] ∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．综上，是第一或第三象限角． 2．与2 019°的终边相同，且在0°～360°内的角是_____． [答案] 219° [解析] ∵2 019°＝219°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 019°的终边相同的角是219°. 考点二、扇形的弧长、面积公式 【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积. [解析] 由已知得α＝，R＝10， ∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2). 【变式1】若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. [解析] l＝α·R＝×10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形＝·l·R－·R2·sin ＝··10－·102· ＝(cm2). 【变式2】若本例条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解析] 由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad. 【类题通法】 应用弧度制解决问题的方法： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【对点训练】 1．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_____. [答案] [解析] 设扇形半径为r，弧长为l，则解得 2．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( ) A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 [答案] B [解析] ∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝× ... ...
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