2019高考数学考点突破--05函数的单调性与最值（解析版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数的单调性与最值 【考点梳理】 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有： (1)f(x)在区间D上是增函数 f(x1)＜f(x2)； (2)f(x)在区间D上是减函数 f(x1)＞f(x2)． 2．单调性、单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是y＝f(x)的最大值 M是y＝f(x)的最小值 【考点突破】 考点一、函数单调性的判断 【例1】函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为(　　) A． B． C．(－2，3) D． [答案] A [解析] 由－x2＋x＋6>0，得－20，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增. 【类题通法】 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【对点训练】 1．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为_____． [答案] (－∞，－1) [解析] 由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)． 2．试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性． [解析] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1). 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)， 即函数在(，＋∞)上单调递增. 当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)， 即函数在(0，)上单调递减． 考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减． 综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减. 法二：f′(x)＝1－. 令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞). 令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，). 故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减. 考点二、利用函数的单调性求最值 【例2】函数f(x)＝(x≥2)的最大值为_____． [答案] 2 [解析] 法一：∵f′(x)＝，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立， ∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2. 法二：∵f(x)＝＝＝1＋， ∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到 ... ...