21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 数列求和 【考点梳理】 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)裂项时常用的三种变形： ①＝－； ②＝； ③＝－. 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【考点突破】 考点一、公式法求和 【例1】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通项公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. [解析] (1)设{an}的公差为d，由a1＝1，a2＋a4＝10得1＋d＋1＋3d＝10， 所以d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)由(1)知a5＝9. 设{bn}的公比为q，由b1＝1，b2·b4＝a5得qq3＝9，所以q2＝3， 所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列， 所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝. 【类题通法】 1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项. 2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之. 【对点训练】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； (2)若T3＝21，求S3. [解析] (1)设{an}公差为d，{bn}公比为q， 由题意得解得或(舍去)， 故{bn}的通项公式为bn＝2n－1. (2)由已知得解得或 ∴当q＝4，d＝－1时，S3＝－6； 当q＝－5，d＝8时，S3＝21. 考点二、分组转化求和 【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和. [解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 【类题通法】 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和. 【对点训练】 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． [解析] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…). 设等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…). (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 考点三、裂项相消法求和 【例3】已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10 ... ...
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