21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【考点梳理】 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用 【考点突破】 考点一、直线的倾斜角和斜率 【例1】(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( ) A． B． C． D． (2)若直线l过点P(－3，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是_____． [答案] (1) B (2) [解析] (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， 因为α∈，所以≤cos α≤， 因此k＝2cos α∈[1，]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈， 即倾斜角的取值范围是. (2)因为P(－3，2)，A(－2，－3)，B(3，0)，则kPA＝＝－5， kPB＝＝－. 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为. 【类题通法】 1．(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R. (2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算； (2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－. 【对点训练】 1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A．[0，π) B．∪ C． D．∪ [答案] B [解析] 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B. 2．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_____. [答案] (－∞，－]∪[1，＋∞) [解析] 法一 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－]. 故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞). 法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. ∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上， ∴(2k－1－k)(－－k)≤0， 即(k－1)(k＋)≥0， 解得k≥1或k≤－. 即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞). 考点二、求直线的方程 【例2】(1)已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( ) A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0 C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0 (2)若A(1，－2)，B(5，6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 ． [答案] (1) D (2) 2x－3y＝0或x＋y－5＝0 [解析] (1)由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝， 所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝， 所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)， 即4x－3y－4＝0. (2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a. 由题意得M(3，2). 若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)， 所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝ ... ...
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