21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 排列与组合 【考点梳理】 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2．排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝eq \f(A,A)＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 【考点突破】 考点一、排列问题 【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻. [解析] (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种). (2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种). (3)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种). 法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种). (5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种). 【类题通法】 1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. 2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 【对点训练】 1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( ) A．12 B．24 C．64 D．81 [答案] B [解析] 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A＝24. 2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48 C．60 D．72 [答案] D [解析] 由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72. 3．从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有( ) A．180种 B．220种 C．240种 D．260种 [答案] C [解析] 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A·A＝240种. 4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有_____种(用数字作答). [答案] 24 [解析] 将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA＝24种不同的展出方案. 考点二、组合问题 【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内 ... ...
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