第二章一元二次方程 第2讲 根与系数的关系（韦达定理）—--高效演练 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。 【知识梳理】 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是． 【高效演练】 1.若 是一元二次方程 的两个根，则的值是( ) A．2 B．－2 C．4 D．－3 【解析】：方程的两根为，，根据题意得．故选D． 【答案】D． 2．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【解析】∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3， ∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选D． 【答案】D 3．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则( ) A. p＞0且q＞0 B. p＞0且q＜0 C. p＜0且q＞0 D. p＜0且q＜0 【解析】试题解析：设x1，x2是该方程的两个负数根，则有x1+x2＜0，x1x2＞0， ∵x1+x2=-p，x1x2=q ∴-p＜0，q＞0 ∴p＞0，q＞0．故选A． 【答案】A 4.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( ) A. －2或3 B. 3 C. －2 D. －3或2 5.规定：如果关于x的一元二次方程（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程是倍根方程； ②若关于x的方程是倍根方程，则a=±3； ③若关于x的方程（a≠0）是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程． 上述结论中正确的有（ ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【解析】 ③关于x的方程（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线的对称轴是直线x=3，∴抛物线与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确； ④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，∴mn=4，解得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴关于x的方程不是倍根方程；故选C． 【答案】C． 6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则=_____. 【解析】∵关于的方程： 的两个实数根分别为， ∴， ∴. 【答案】-3 7.若方程的两实根为a、b，则的值为_____。 【解析】∵方程x2–x–1=0的两实根为a、b， ∴a+b=1，ab=–1， ∴． 【答案】-1 8．设是方程的两个实数根，则的值为_____。 【解析】由是方程的两个实数根， 则且， 又 【答案】2017 9.关于x的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数m的取值范围 是 ． 10.一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，的取值范围为_____。 【解析】解一：由 解得： 解二：设，则如图所示，只须，解得 【答案】 11．若关于x的一元二次方程x2–4x+k–3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值． 【解析】由根与系数的关系，得 x1+x2=4①，x1x2=k–3② 又∵x1=3x2③， 联立①、③，解方程组得， ∴k=x1x2+3=3×1+3=6 则方程两根为x1=3，x2=1；k=6． 【答案】x1=3，x2=1；k=6． 12.已知关于的方程 （1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足,求实数k的值. 【解析】分析：（1）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k2-4k-1）≥0，再解即可； （2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2（k-3） ... ...
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