整式的乘法与因式分解 【知识脉络】 【基础知识】 1．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 3 a2 b2×2abc=（3×2）×（a2 b2 ×abc）=6 a3 b3c 2．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4．乘法公式： ①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． ②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 5．因式分解（难点） 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 一、掌握因式分解的定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法 （1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母———各项含有的相同字母；③指数———相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． （3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【典例解析】 例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是 ﹣m2+2m ．（结果要化简） 【考点】整式的混合运算． 【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m， 则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m． 故答案为：﹣m2+2m 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例题2：乘法公式的探究与应用： （1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式） （2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）． （3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个） 公式1： （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 公式2： a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） （4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7． 【考点】平方差公式的几何背景． 【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2； （2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）； ... ...
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