1.3.2 球的体积和表面积31张PPT

课件31张PPT。 奥运会中所使用的排球的体积和表面积是多少呢？思考：（1）球的表面积：能否采用展开的方法，求球体 的表面积呢？（2）球的体积：给你一个半径为R的实心铁球， 如何测量该球的体积呢？排水法不能，球体无法展开为一个平面图形 思考：当球的半径变化时，球的体积随之改变， 你是否每次都要这样测量呢？ 探求：用数学方法探求球的体积与半径的关系。 祖暅，子景烁，祖冲之之子， 南北朝时代的伟大科学家，于 5世纪末提出祖暅原理。“幂势即同，则积不容异”（一）球的体积的探究1、祖暅原理： 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。（1）两个等高的几何体（2）在同高处所截得的截面的面积总相等如何利用祖暅原理求出半径为R的半球的体积呢？ （一）球的体积的探究2、构造与半球体积相等的几何体：提出问题：能否构造一个几何体，让这个几何体与 半球同高、等截面呢？（2）能不能构造一个与半球同高等底的几何体？（3）在同高处截圆柱和半球所得到的截面面积相等吗？（4）在同高处截圆台和半球所得到的截面面积相等吗？（4）在同高处截圆锥和半球所得到的截面面积相等吗？思考：圆柱、圆台、圆锥都不满足要求，那么究竟要 怎样组合这些几何体，才能使构造的几何体的截面面 积才等于半球的截面面积呢？ （5）能不能由这个代数式 ，联想到一个几何图形？ 圆环于是可以考虑： 构造的几何体的截面是一个大圆挖去一个小圆（6）可以构造一个怎样的几何体，使构造的几何体 的截面就是这样一个大圆挖小圆呢？ 构造的几何体为:一个半径和高都等于R的圆柱， 挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆 锥后所得的几何体。 在圆柱中挖去一个圆锥，得到的这个几何体的截面 就是一个圆环。 在同高处截这个构造的几何体与半球所得到的截面 面积相等吗？思考：RR 把球面分割成n个小网格，球面被分为n “小球面片”，表面积分别为： 则球的表面积：第一步：分割（四）球的表面积公式的推导第一步：分割则球的体积为：（四）球的表面积公式的推导设每个“准锥体”的体积分别为： 每个“准锥体”的体积之和与球 的体积有怎样的关系呢？（四）球的表面积公式的推导“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。以平代曲“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。 小棱锥的底近似取为：第二步：近似求和由第一步得：以平代曲球的体积的近似值。第三步：化为准确值怎样提高这个近似值的精确度?思考： 分割的越细密，也就是每一个“小球面片”越小， “准锥体”就越接近棱锥，精确度就越高。 但只要分割份数是一个有限值，误差就一定存在， 得到的始终是一个近似值。第三步：取极限（3）那么怎样把这个近似值化为准确值呢？让分割份数无限变大，由有限变到无限所有“准锥体”的体积之和为1、“分割--近似求和--取极限”这一数学思想方法，最早提出来是柯西，而且后来黎曼进一步发展，形成了积分理论，因此，今天我们数学分析中的积分也叫柯西—黎曼积分。（三）方法与思想的起源2、在我国，早在三国时期,我国古代的数学家刘徽就提出了“割圆术”。刘徽指出："割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣!即以圆内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积。（三）方法与思想的起源半径为R的球体的体积为：半径为R的球体的表面积为：例1:已知奥运会中所使用的 排球直径大约是20cm,则 它的表面积为( ) 体积为( )（四）公式的简单应用例2：如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求：1、球的体积等于圆柱体积的多少 倍？ 2、球的表面积与圆柱的侧面积有怎样的关系？（四）公式 ... ...