第33讲 基本不等式（解析版） 考 点 内容解读 要求 常考题型 基本不等式 突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练 Ⅰ 选择题、填空题 训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养 Ⅱ 解答题 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)； (2)＋≥2 (a，b同号)； (3)ab≤(a，b∈R)； (4)≥(a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大) 考点一 利用基本不等式求最值 例1 (1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为_____； (2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为_____． 【解析】(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1， ∴ ＋＝＋＝3＋＋≥3＋2． 当且仅当＝时，取等号． (2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号． 【答案】(1) 3＋2 (2) 1 类题通解 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方． 变式训练 1． (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为_____． (2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为_____． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为_____． 【解析】 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号． (2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)， ∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0， ∴5x(2－5x)≤2＝1， ∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝． (3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy， ∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋ ＝10＋2≥10＋2×2× ＝18， 当且仅当＝，即x＝2y时取等号， 又2x＋8y－xy＝0，∴ x＝12，y＝6， ∴ 当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18． 【答案】 (1)3 (2) (3)18 2．（2018 卷Ⅰ）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为_____． 【答案】6 【解析】z=3x+2y,过点A（2,0）时，zmax=3 2+2 0=6． 3．（2018 浙江）若 满足约束条件 则 的最小值是_____，最大值是_____． 【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点A(2,2)时 取最大值8，过点B(4，-2)时 取最小值-2。 【答案】-2；8 考点二 利用基本不等式解决恒成立问题 例2 若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是_____． 【解析】若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号， 所以a的取值范围是 【答案】 类题通解 当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解． 变式训练 1． 已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是_____． 【解析】由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 ，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10． 【答案】10 2． 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值是_____． 【解析】由函数f(x)>0对任意 x ∈ R 恒成立,则当x=0时，a|a|-2≥0，故a>； 当x≥a时，不等式x2+2ax-a2-20恒成立,即左式当x=a时的最小值2a2-20，得a1；当x
