第34讲 合情推理与演绎推理（原卷版） 考 点 内容解读 要求 常考题型 1.合情推理 （1）通过对已学知识的回顾，体会合情推理这种基本的分析问题的方法，认识归纳推理的基本方法与步骤 （2）认识类比推理的基本方法与步骤，能利用类比进行简单的推理，并把它们用于对问题的发现与解决中去 Ⅱ 选择题 2.演绎推理 （1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性 （2）了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. Ⅱ 选择题、填空题 1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提———已知的一般原理； ②小前提———所研究的特殊情况； ③结论———根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 题型一 找规律，推结论 例1 : 观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ 【解析】，，， ………… 由此，猜想结论： 【答案】 类题通解 归纳推理过程充分体现了由部分到整体、由个别到一般的推理.寻找规律是关键。所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论． 变式训练 1. 用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= ，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（?? ） A.?k2+1?????? B.?（k+1）2???? C.??????? D.?（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2 2. 如下等式： 以此类推，则2018出现在第_____个等式中． 例2 ：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 若，则 （1） 运算律（交换律和结合律） （2） ； 逆运算 （3） 乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解 单位元 （4） 【解析】（1）若，则 （2）， （3）加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解，（4） 类题通解 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想） ③检验猜想.即 变式训练 1.找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 （1） 圆的面积 （2） 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 （3） 与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 （4） 以点为圆心，r为半径的圆的方程为 （5） 例3 ：如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比 .若空间中不在同一平面内的射线OP，OQ，OR上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？ 【解析】由题把平面与空间类比，把面积与体积类比得结论： 类题通解 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠. 变式训练 1.用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 （1） 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 （2） 三角形的面积为（r ... ...
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