2018-2019学年高二数学新人教B版必修五学案：第1章 1.1.1 正弦定理

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 学习目标：1.掌握正弦定理及基本应用．(重点)2.会判断三角形的形状．(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．正弦定理 2．解三角形 (1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示] 需要两角及一边或两边及其一边的对角． [基础自测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形．( ) (2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．( ) (3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则三角形是等腰三角形．( ) [解析] (1)×.正弦定理适用于任意三角形． (2)√.由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B. (3)√.由正弦定理可知＝，即a＝b，所以三角形为等腰三角形． [答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝_____. 2 [由正弦定理得：＝， 所以AC＝＝2.] 3．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C＝_____. [由正弦定理得：＝， 所以sin B＝. 又a>b，所以∠A>∠B， 所以∠B＝， 所以∠C＝π－＝.] 4．在△ABC中，－－＝_____. 0 [由于＝＝，所以－－＝＋＝0.] [合 作 探 究·攻 重 难] 类型1 已知两角及一边解三角形 例1 已知△ABC，根据下列条件，解三角形： (1)a＝20，∠A＝30°，∠C＝45°； (2)a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°. [解] (1)∵∠A＝30°，∠C＝45°； ∴B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°， 由正弦定理得b＝＝＝40sin(45°＋60°)＝10(＋)； c＝＝＝20， ∴∠B＝105°，b＝10(＋)，c＝20. (2)∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理＝， 得b＝＝＝4， 由正弦定理＝， 得c＝＝＝ ＝4(＋1)． ∴∠A＝45°，b＝4，c＝4(＋1)． [规律方法] 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边. [跟踪训练] 1．在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c. [解] 由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理＝， 得c＝a·＝5·＝5· ＝5· ＝(＋)． 类型2 已知两边及一边的对角解三角形 例2 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形： (1)a＝1，b＝，∠A＝30°； (2)a＝，b＝1，∠B＝120°. [解] (1)根据正弦定理，sin B＝＝＝. ∵b>a，∴∠B>∠A＝30°，∴∠B＝60°或120°. 当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c＝＝＝2； 当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A，∴c＝a＝1. (2)根据正弦定理，sin A＝＝＝>1. 因为sin A≤1.所以A不存在，即无解． [规律方法] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论. [跟踪训练] 2．已知△ABC，根据下列条件，解三角形： (1)a＝2，c＝，∠C＝； (2)a＝2，c＝，∠A＝. [解] (1)∵＝， ∴sin A＝＝. ∵c>a，∴∠C>∠A.∴∠A＝. ∴∠B＝，b＝＝ ＝＋1. (2)∵＝， ∴sinC＝＝. 又∵a