第27讲 数列的概念与简单表示法（原卷版） 考点 考纲解读 要求 常见题型 1.由数列的前几项求数列的通项公式 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． I 选择题，填空题 2.an与Sn关系的应用 理解an与Sn关系重视分类讨论的思想 II 解答题 3.由数列的递推关系求数列的通项公式 理解递推公式的定义 II 填空题 4. 数列的性质 理解数列的分类 II 解答题 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 排列的一列数 数列的项 数列中的 数列的通项 数列{an}的第n项an= 通项公式 如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用 表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 4．数列的分类 分类原则 名称 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 无穷数列 项数 单调性 递增数列 an＋1 an 递减数列 an＋1 an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列 存在正数m，使|an|≤m 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 周期数列 ?n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1：已知n∈N*，给出4个表达式： ①an＝②an＝，③an＝，④an＝. 其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【解析】检验知①②③都是所给数列的通项公式． 【答案】A 例2：写出下面各数列的一个通项公式： ①3，5，7，9，…； ②，，，，，…； ③－1，，－，，－，，…； ④3，33，333，3 333，…. 【解析】 ①各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. ②每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝. ③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 所以an＝(－1)n·. 也可写为an＝ ④将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1，102－1，103－1，104－1，…，所以an＝(10n－1)． 类题通法 具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理 变式训练 1．(2018·太原模拟)数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( ) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝ D．an＝ 2．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5，55，555，5 555，…. 考点二 an与Sn关系的应用 考向一 利用an与Sn的关系求an 例3：若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝_____. 【解析】 由Sn＝an＋， 得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1， 又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1， ∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1. 【答案】 (－2)n－1 变式训练 1．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式． 2．已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b. 考向二 利用an与Sn关系求Sn ... ...
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