第7讲 二次函数与幂函数（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．二次函数的应用 理解二次函数三种解析式的特征及应用 Ⅰ 选择题，填空题 2．二次函数的性质 会运用二次函数的图像与性质解决相关问题 Ⅱ 选择题，填空题 3．幂函数的定义 了解幂函数的概念 Ⅱ 选择题，填空题，大题某小问 1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做 ． 二次函数解析式的三种形式 (1) ：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2) ：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3) ：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 a>0 a<0 图象 图象 特点 ① ； ②顶点： 性质 定义域 值域 y∈＋∞ y∈ 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x∈－∞，时 ，x∈－，＋∞时 x∈时 ，x∈时 函数y＝f(x)对称轴的判断方法： (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称． (2)一般地，函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)． 幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 单调性 公共点 考点一、二次函数的解析式 例1．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1． (1)求f(x)解析式； (2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式． 【答案】(1)由于f(x)有两个零点0和－2，所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，由于f(x)有最小值－1， 所以必有解得a＝1． 因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x． (2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P′(－x，－y)必在f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－x)，即－y＝x2－2x， y＝－x2＋2x， 故g(x)＝－x2＋2x． 类题通法： 求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法． 变式训练： 1．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3，4)，且过点A(2，2)的抛物线的一部分． (1) 求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (2) 在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图； (3) 写出函数f(x)的值域． 考点二、二次函数的图像与性质 例2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数． 【答案】 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]． 所以f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， 故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35． (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a， 所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4． 故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)． 类题通法 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法． 变式训练 1．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，则a的值为_____． 考点三、二次函数的综合问题 例3．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1． (1)若存在x∈R使f(x)0?b<0或b>4． 故b的取值范围为(－∞，0) ... ...
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