一、利用基本不等式求最值 例1 (1)已知01)的最小值为_____． 【解析】 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． 【答案】 (1) (2)1 (3)2＋2 变式：（2018天津文、理）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为_____． 【解析】由可知，且， 因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：． 当且仅当，即时等号成立．综上可得的最小值为． 【答案】 巩固1（1）当x>0时，函数f(x)＝有( ) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 （2）若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为_____． 例2 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是_____． (2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝_____. 【解析】 (1)方法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋＝5. 当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立， ∴3x＋4y的最小值是5. (2)由2x－3＝()y得x＋y＝3， ＋＝(x＋y)(＋)＝(1＋m＋＋)≥(1＋m＋2) (当且仅当＝，即y＝x时取等号)， ∴(1＋m＋2)＝3，解得m＝4. 【答案】 (1)5 (2)4 点拨 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 巩固2（1）已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为_____． （2）在等式“1＝＋”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_____． 二、基本不等式的实际应用 例3某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元． (1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式； (2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？ (总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费) 【解析】 (1)t＝＝. 巩固3（1）某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元． ①若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用) ②要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ （2）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． ①当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； ②当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 ... ...
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