高中物理解题方法之导数法 在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。 例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布 图1.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的点的合成 以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强度可表示为： = 因为原点的电场强度，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。 方法1.用三角函数法求导数 中把代入得。 令，求导数=，欲使，需（舍去）或即，此处，，将其代入得。 方法2. 用代数法求导数 =，令,对求导数得,令其分子为0，得，代入得。 3.图象 用Excel作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。 图2.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的分布 此图象也验证了以上所得的结果：图象中令，则当处电场强度最大。 例2、电源输出功率最大问题的研究 例题．如图所示，R为电阻箱，为理想电压表．当电阻箱读数为R1=2Ω时，电压表读数为U1=4V；当电阻箱读数为R2=5Ω时，电压表读数为U2=5V．求： (1)电源的电动势E和内阻r。 (2)当电阻箱R读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值Pm为多少? 图3 电路图 【解析】由闭合电路欧姆定律： 联立上两式并代入数据解得：， （2）解法1.代数法，电功率表达式： 将上式变形为：，由上式可知时有最大值 解法2.导数法，电功率表达式：，根据求导公式，得导数：=，当时，导数的分子为零，即此时有极大值，将代入式得最大值 本题的物理意义可用图4图象说明： 图4电源输出功率与外电路电阻的关系 图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。 例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大 大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。 弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。 一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。 如图1所示，设质量为m1的小球，速度为v1，与质量为m2的小球，速度为v2，发生碰撞， 图5 碰撞 碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。 由系统的动量守恒定律得?m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’……① 则碰撞中动能损失为 ② 由①得 ③ ③代入②得，求对的导数，得 令0，解得，④ 即当时，有最大值。 将④代入③解得，即，两小球粘合在一起时，也就是完全非弹性碰撞情况下，动能损失最大。将④代入②解得动能损失最大为 ... ...
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