第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 （原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．空间点、线、面位置关系 掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键． Ⅱ 选择题 知识要点梳理 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 都在这个平面内． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点， 个平面． (3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的 ． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有 平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：． （3）直线与平面的位置关系有平行、 、在平面内三种情况． （4）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． （5）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相 ． （6）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ． 考点一 平面的基本性质 例1：正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【解析】如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形． 同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG． ∴ 截面为六边形PQFGRE． 【答案】D 类题通解 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置． 变式训练 1．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_____． 考点二 异面直线 例2：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 【解析】 (1)不是异面直线．理由如下： 连接MN、A1C1、AC． ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1．又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线． (2)是异面直线．证明如下： ∵ABCDA1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α， ∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线． 类题通解 证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法(不易操作)． (2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． 变式训练 1．在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_____(填上所有正确答案的序号)． 考点三 异面直线所成的角 例3：正方体ABCDA1B1C1D1中． (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 【解析】(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体， 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°． 即A1D与AC所成的角为60°． (2)如图所示，连接AC、BD，在正 ... ...
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