第42讲 空间向量及其运算（理科专版） （原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 空间向量及其意义 掌握空间向量的线性运算及其数量积．能够利用向量的数量积判断向量的关系与垂直．了解空间向量基本定理及其意义 Ⅱ 选择题 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和 的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模 的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或 的向量． (4)共面向量：平行于同一个 的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b；＝λa(λ∈R)． (2)运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a． 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 数乘分配律： ． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作 ． ②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，即a·b＝ ． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律： ； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 4．基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是 ． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b ，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c ，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc． 考点一 空间向量的线性运算 例1：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，． 【解析】＝＋＋＝＋＋ ＝a＋b＋c． ＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＋(－)＝＋＋ ＝a＋b＋c． 类题通解 (1)通过以上表示可以看出＝3即证明：A、G、C1三点共线．G为AC1的三分之一分点．(2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算． 变式训练 1．如右图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3．设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，． 考点二 共线共面定理的应用 例2：如右图，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面． 【证明】取＝a、＝b、＝c，则＝＋＋＝＋2＋ ＝b－a＋2a＋(＋＋)＝b＋a＋(b－a－c－a)＝b－c，∴H与b、c共面．即E、F、G、H四点共面． 类题通解 证明E、F、G、H四点共线，只须证明＝λ＋μ即可，即证、、三个向量共面．此种方法也是证明直线与平面平行的方法． 变式训练 1．如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC边上的中点，试证：A1B∥平面AC1D． 考点三 空间向量数量积的应用 例3：如图，在四面体S-ABC中，若SA⊥BC，SB⊥AC，试证SC⊥AB． [审题视点] 可通过证明两直线的方向向量的数量积为0来证明两直线垂直． 【证明】取＝a，＝b，＝c，由已知SA⊥BC，SB⊥AC， 即 ②－①得c·(b－a)＝0， 则SC⊥AB． 类题通解 利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知求证c·(b－a)＝0 回避了传统几何法中作辅助线这一难题．以上证法同时也证明了平面几何中“三角形的三条高线交于同一点”这一命题． 变式训练 1．已知如右图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°． (1)求证：C1C⊥BD； (2)当的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明． 1．已知向量a∥平面β，向量a所在直线为a，则( )． A．a∥β B．a?β ... ...
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