高考数学一轮复习学案 第43讲 立体几何中的向量方法（一）--证明平行与垂直（理科专版）（原卷版+解析版）

第43讲 立体几何中的向量方法（一） --证明平行与垂直（理科专版）（原卷版） 考 点 内容解读 要求 常考题型 立体几何中的向量方法（一）--证明平行与垂直 握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，能够证明空间平行于垂直。 Ⅱ 解答题 知识要点梳理 1．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)； ②λa＝(λa1，λa2，λa3)； ③a·b＝ . (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b?a＝λb? ，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b?a·b＝0? (a，b均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝. 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB＝||＝. 2．立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 (2)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β? . (3)用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. (4)点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离 . 考点一　利用空间向量证明平行问题 例1：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 【证明】 方法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)， 于是＝， 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． 则n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n，又MN ?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 方法二　＝－＝－＝(－)＝， ∴∥，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1， 又∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 类题通解 证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题． 变式训练 1．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 考点二　利用空间向量证明垂直问题 例2：如图所示，在棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. (1)求证A1F⊥C1E； (2)若A1，E，F，C1四点共面 求证：＝＋. 【证明】(1)由已知条件A1(1，0，1)，F(1－x，1，0)，C1(0，1，1)，E(1，x，0)， ＝(－x，1，－1)，＝(1，x－1，－1)，则·＝－x＋(x－1)＋1＝0， ∴⊥，即A1F⊥C1E. (2)＝(－x，1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(0，x，－1)， 设＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝1. ∴＝＋. ... ...