第16讲 任意角和弧度制及任意角的 三角函数（原卷版） 考点 考纲要求 要求 常考题型 角的集合及象限角 了解任意角的概念；了解弧度制的概念．能进行弧度与角度的互化． I 选择题、填空题 三角函数的定义 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． II 选择题、填空题 三角函数线的应用 能运用三角函数知识解题 II 选择题、填空题 1．角的概念 (1)角的分类(按旋转的方向)： 角 (2)象限角与轴线角： (3)终边相同的角 所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制 (1)定义 长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad ②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝ 扇形面积公式 S＝l·r＝|α|·r2 (3)规定 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是0． 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － 4．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 有向线段 为正弦线；有向线段 为余弦线；有向线段 为正切线 题型一 角的集合及象限角 例1：(1)(2018·潍坊二模)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C． 【答案】C (2)(2018·广州调研)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角的个数为 _____ ． 【解析】∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)， 依题意0≤＋≤2π，k∈Z，∴－≤k≤， ∴k＝0,1,2，即在[0,2π]内与角的终边相同的角为，，共三个． 【答案】 三个 类题通法 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．表示区间角的三个步骤： (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 3．已知角α终边所在的象限，求2α、、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、、π－α等的范围，再根据范围确定象限． 变式训练 1．给出下列四个命题： ①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四角限；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．终边在直线y＝x上的角的集合为 _____ ． 3．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 题型二 三角函数的定义 考向一 三角函数定义的应用 例2：已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝ _____ ． 【解析】 ∵角α的终边经过点P(－x，－6)， 且cos α＝－，∴cos α＝＝－， 即x＝或x＝－(舍去)，∴P，∴sin α＝－， ∴tan α＝＝，则＋＝－＋＝－． 【答案】 － 考向二 三角函数值的符号判定 例3：(2018·福建厦 ... ...
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