第48讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版） 考点 考纲要求 要求 常考题型 1．直线与圆的位置关系 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系． II 选择题、填空题 2．与圆有关的切线、弦长问题 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． I 选择题、填空题 3．圆与圆的位置关系 初步了解用代数方法处理几何问题的思想． I 选择题、填空题 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ． 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 Δ 0 相切 Δ 0 相离 Δ 0 2．圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 注：(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形． (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． 题型一 直线与圆的位置关系 例1： (1)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离 【解析】 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<且 2×1＋(1－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心． 【答案】 B (2)(2018·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个． 【答案】C (3)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是_____． 【解析】法一：将直线方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－，)． 法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝， 直线与圆没有公共点的充要条件是d>1， 即>1，解得k∈(－，)． 【答案】 k∈(－，) 类题通法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． 变式训练 1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．(2018·湖北省荆州市监利实验高中月考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 3．若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b的取值范围是( ) A．b∈(－1,1] B．b＝－ C．b＝± D．b∈(－1,1]或b＝－ 题型二 与圆有关的切线、弦长问题 考向一 求切线方程(切线长) 例2：(2018·江西省宜春市二模)已知圆x2＋y2＝1和圆外一点P(1,2)，过点P作圆的切线，则切线方程为_____． 【解析】 圆心坐标为(0，0)，半径为1， ∵点P(1，2)在圆外，∴若直线斜率k不存在， 则直线方程为x＝1，圆心到直线的距离为1，满足相切． 若直线斜率存在设为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， 则圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离等于半径1，即d＝＝1， 解得k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0， 综上切线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0， 故答案为：x＝1或3x－4y＋5＝0． 【答案】 x＝1或3x－4y＋5＝0 考向二 求弦长 例3：若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( ) A． B．1 C． D． 【解析】 因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦 ... ...
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