第58讲 排列与组合（原卷版） 考点 考纲要求 要求 常考题型 排列、组合 理解排列、组合的概念． I 选择题或填空题 分组分配问题 理解排列数公式、组合数公式． I 选择题或填空题 排列·组合的综合应用 能利用公式解决一些简单的实际问题． I 选择题或填空题 排列与排列数 组合与组合数 定义 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 公式 排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 组合数公式C＝＝＝ 性质 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！； 0！＝1 C＝1；C＝C；C＋C＝C 备注 n、m∈N*且m≤n 题型一 排列问题 例1: (2018·金华联考)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻． 【解析】 (1)从7人中选5人排列， 有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)． (3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)． 法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)． (5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)． 类题通法： 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 先整体后局部 “小集团”排列问题中先整体后局部 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 变式训练 1．(2018·东北四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( ) A．10种 B．16种 C．20种 D．24种 2．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A．324 B．648 C．328 D．360 3．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_____． 题型二 组合问题 例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 【解析】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种．∴恰有2种 ... ...
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