第59讲 二项式定理（原卷版） 考点 考纲要求 要求 常考题型 二项展开式中的特定项或特定项的系数 能利用计数原理证明二项式定理 I 选择题、填空题 多项展开式中的特定项或系数问题 能利用二项展开式中的特定项或特定项的系数 I 选择题、填空题 二项式系数及项的系数问题 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. I 选择题、填空题 1．二项式定理 (1)二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式叫做二项式定理． (2)二项式系数、二项式的通项 在上式中它的右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk. 2．二项式系数的性质 题型一 二项展开式中的特定项或特定项的系数 例1：(1)(2016·全国乙卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是_____．(用数字填写答案) 【解析】(2x＋)5的展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x)5－k.()k＝C25－kx5－，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得k＝4，得T5＝C25－4x5－＝10x3，∴x3的系数是10. 【答案】 10 (2) (2017·山东)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝_____. 【解析】由二项式定理的通项公式Tr＋1＝C(3x)r＝C·3r·xr，令r＝2得：C·32＝54，解得n＝4. 【答案】4 (3)(2018·广州模拟)在15的展开式中，x的非负整数次幂的项的个数为_____． 【解析】展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·()15－r·r＝(－1)r2rCx5－，由题意知5－r为非负整数，得r＝0或6，∴符合要求的项的个数为2. 【答案】2 类题通法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)． (1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 变式训练 1．已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a等于( ) A. B．－ C．6 D．－6 2．设a为函数y＝sinx＋cosx(x∈R)的最大值，则二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是_____． 3．二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为_____． 题型二 多项展开式中的特定项或系数问题 考向一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 例2：4＋8的展开式中的常数项为( ) A．32 B．34 C．36 D．38 【解析】 4的展开式的通项为Tm＋1＝C(x3)4－m·m＝C(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，8的展开式的通项为Tn＋1＝Cx8－nn＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38. 【答案】 D 考向二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 例3：(2017·课标Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为( ) A．15 B．20 C．30 D．35 【解析】因为(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6， 则(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2＝15x2，·(1＋x)6 展开式中含x2的项为·Cx4＝15x2，故x2前系数为15＋15＝30，选C. 【答案】C 考向三 三项展开式中特定项(系数)问题 例4： (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60 【解析】 (x2＋x＋y)5＝[x(x＋1)＋y]5，T3＝C[x(x＋1)]3·y2＝Cx3(x＋1)3·y2， 所以x5y2的系数为C·C＝30，故选C. 【答案】 C 类题通法 1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． 2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思 ... ...
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