数学人教A版选修2-1：2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？ 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点） 2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点） 实验操作 (1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆. 探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？ 思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？ 椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. |MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在 思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？ 【提升总结】 探究点2 椭圆的标准方程 根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？　　 思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？ （1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程； （4）化简方程； （5）检验. 第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？ 方案一 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0) . 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程. 解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图). 设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) . x F1 F2 M O y 由椭圆的定义得 因为 移项，再平方 整理得 两边再平方，得 它表示焦点在y轴上的椭圆. 它表示焦点在x轴上的椭圆. 1 2 y o F F M x （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2. 椭圆的标准方程有哪些特征呢？ 【提升总结】 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设 它的标准方程为 由椭圆的定义知 因此, 所求椭圆的标准方程为 能用其他方法求它的方程吗？ 另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它 的标准方程为: ① ② 联立①②, 因此, 所求椭圆的标准方程为: 又∵焦点的坐标为 【变式练习】 已知椭圆经过两点 和 ，求椭圆的 标准方程. 解：设椭圆的标准方程为 则有 解得 所以，所求椭圆的标准方程为 . x y O D M P 例2 如图，在圆 上任取一点P，过点P 作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动 时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则 因为点P（x0,y0）在圆 ． ． ① 把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得 即 所以点M的轨迹是一个椭圆. 从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0), 直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求 点M的轨迹方程. y ... ...