3.1.1 两角和与差的余弦 课时过关·能力提升 1.sin 75°cos 45°+sin 15°sin 45°的值为( ) A.- B. C. D.-1 解析:原式=cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=cos(15°-45°)=. 答案:C 2.若sin(π+θ)=-,θ是第二象限的角,sin=-,φ是第三象限的角,则cos(θ-φ)的值是( ) A.- B. C. D. 解析:由已知得sin θ=,cos θ=-,cos φ=-,sin φ=-,于是cos(θ-φ)=cos θcos φ+sin θsin φ=. 答案:B 3.若sin α-sin β=1-,cos α-cos β=-,则cos(α-β)的值为( ) A. B. C. D. 1 解析:由已知得(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2==2-,即2-2cos αcos β-2sin αsin β=2-,于是2cos(α-β)=,从而cos(α-β)=. 答案:B 4.下列命题中的假命题是( ) A.存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β B.不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β C.对任意的α和β,有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β D.不存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β 解析:若cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,则cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β+sin αsin β,因此sin αsin β=0,因此α=kπ或β=kπ(k∈Z),有无穷多个α和β的值使之成立. 答案:B 5.已知向量a=(cos 18°,sin 18°),b=(2cos 63°,2sin 63°),则a与b的夹角为( ) A.18° B.63° C.81° D.45° 解析:由已知得a·b=2cos 18°cos 63°+2sin 18°sin 63°=2cos(18°-63°)=2cos 45°=,|a|==1,同理|b|=2,所以cos
=,故a与b的夹角是45°. 答案:D 6.在△ABC中,若sin Asin B0,即cos(A+B)>0,所以-cos C>0,cos C<0,即C为钝角,故△ABC为钝角三角形. 答案:钝角 7.已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为 .? 解析:由已知得cos α=,sin β=, 于是cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, 又sin α==sin β,且α,β均为锐角, ∴α<β,即-<α-β<0,故α-β=-. 答案:- 8.函数y=sin x+cos x的值域为 .? 解析:由于y=sin x+cos x=2=2cos,因此该函数的值域是[-2,2]. 答案:[-2,2] 9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-<α+β<2π,<α-β<π,求cos 2α的值. 解:cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β). ∵<α+β<2π, ∴sin(α+β)=-. 又<α-β<π, ∴sin(α-β)=. ∴cos 2α==-. ★10.已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值. 解:∵tan α=4,α为锐角, ∴sin2α=48cos2α=48(1-sin2α). ∴sin α=.∴cos α=. 又cos(α+β)=-,且0<α+β<π, ∴sin(α+β)=. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-. 11.已知sin α-sin β=-,cos α-cos β=,且α,β均为锐角,求tan(α-β)的值. 解:∵sin α-sin β=-, ① cos α-cos β=, ② ∴由①2+②2, 得cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=. ∵α,β均为锐角,∴-<α-β<. 由①知α<β,∴-<α-β<0, ∴sin(α-β) =-, ∴tan(α-β)==-. ★12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0, |φ|<. (1)若coscos φ-sinsin φ=0,求φ的值; (2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式. 解:(1)由coscos φ-sinsin φ=0,得coscos φ-sinsin φ=0,即cos=0. 又|φ|<,所以φ=. (2)由(1),得f(x)=sin. 依题意,得. 所以T=. 由T=,得ω=3. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin. 3.1.2 两角和与差的正弦 课时过关·能力提升 1.cos 23°sin 53°-sin 23°cos 53°等于( ) A. B. ... ... 