考点53 函数的零点 考点54 零点个数的判定 考点55 二分法 考点56 一元二次方程根的分布 考点57 用二分法求近似解 考点58 分段函数的的应用 考点59 一次函数、二次函数的应用 考点60 函数模型的选择与应用 考点53 函数的零点 1．函数的零点 对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系 方程f（x）＝0有实数根?函数y＝f（x）的图象与x轴有交点?函数y＝f（x）有零点． 3．函数零点的存在性定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根． 【例】求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2的零点个数． 【解析】解法一：∵f（0）＝1＋0－2＝－1<0，f（2）＝4＋lg3－2>0，由零点存在性定理，f（x）在（0,2）上存在实根又f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（0，＋∞）为增函数，故f（x）有且只有一个零点． 解法二：（数形结合）在同一坐标系中作出g（x）＝2－2x和h（x）＝lg（x＋1）的图象（如图所示），由图象可知有且只有一个交点，即函数f（x）有且只有一个零点． 1．下列函数没有零点的是 A．f（x）＝0 B．f（x）＝2 C．f（x）＝x2－1 D．f（x）＝x－ 【答案】B 【解析】函数f（x）＝2，不能满足方程f（x）＝0，因此没有零点． 2．若y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是 A．若f（a）·f（b）<0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 B．若f（a）·f（b）<0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 C．若f（a）·f（b）>0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 D．若f（a）·f（b）>0，有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 【答案】D 【解析】由零点存在性定理可知选项A不正确； 对于选项B，可通过反例“f（x）＝x（x－1）（x＋1）在区间[－2，2]上满足f（－2）·f（2）<0，但其存在三个零点：－1，0，1”推翻；选项C可通过反例“f（x）＝（x－1）·（x＋1）在区间[－2,2]上满足f（－2）·f（2）>0，但其存在两个零点：－1，1”推翻． 【解题技巧】确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0．若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点． （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 3．下列图象表示的函数中没有零点的是． 【答案】A 【解析】B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点． 4．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）＝ex－x－2的一个零点所在的区间是． x －1 0 1 2 3 ex 0．37 1 2．72 7．39 20．09 x＋2 1 2 3 4 5 A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【答案】C 【思路归纳】确定函数的零点（方程的根）是否在区间（a,b）时，通常利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号．（1）先求f（a），f（b）；（2）判断f（a）f（b）的符号；（3）若f（a）f（b）<0,则零点在区间内，否则，不在区间内。 5．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点是–3，则它的另一个零点是 A．–1 B．1 C．–2 D．2 【答案】B 【解析】设另一个零点是x，由根与系数的关系得–3+x=–=–2，所以x=1．即另一个零点是1，故选B． 【易错易混】利用根与系数的关系，一定要注意符号的变化． 6．已知是函数的一个零点．若，则 A． B． C． D． 【答案】B 1．函数f（x）＝lnx－的零点所在的大致区间是 A．（0，1） B．（1，2） C．（ ... ...
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