9．5 曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)_____； (2)_____． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的_____，用有序实数对(x，y)表示曲线上_____M的坐标； (2)写出_____的点M的集合：P＝{M | p(M)}； (3)用_____表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为_____形式； (5)说明以化简后的方程的_____为坐标的_____都在曲线上． 注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤(2)． 3．求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明． (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数． (4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，首先用x，y表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程． (5)交轨法：动点P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程． (6)参数法：当动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f(x，y)＝0. (4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程． 自查自纠 1．(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 2．(1)坐标系 任意一点 (2)适合条件p (3)坐标 (4)最简 (5)解 点 方程x2＋xy＋x＝0表示的曲线是( ) A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解：方程变为x(x＋y＋1)＝0，所以x＝0或x＋y＋1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y＋1＝0.故选C. 方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( ) 解：原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．故选B. 若点P到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为( ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 解：由题意知P到F(0，2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0，2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.故选C. 由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P 的轨迹方程为_____． 解：设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，因为∠APB＝60°，OP平分∠APB，所以∠OPB＝30°，因为|OB|＝1，∠OBP为直角，所以|OP|＝2，所以x2＋y2＝4.故填x2＋y2＝4. (2016·贵州调研)在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足||||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为_____． 解：把已知等式||||＋·＝0用坐标表示，得4＋4(x－2)＝0，化简变形得y2＝－8x.故填y2＝－8x. 类型一 已知方程判断曲线 |y|－1＝表示的曲线是( ) A．抛物线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 解：原方程|y|－1＝等价于 得或 所以原方程表示(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)和(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)两个半圆．故选D. 【点拨】化 ... ...
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