9．7 双 曲 线 1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_____等于常数2a(2a_____|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的_____，两焦点间的距离叫做双曲线的_____． ※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的_____． (3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做_____．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的_____条件，且等轴双曲线两条渐近线互相_____．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 2．双曲线的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 (1)图形 (2)标准 方程 －＝1(a＞0，b＞0) (3)范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a (4)中心 原点O(0，0) (5)顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) (6)对称轴 x轴，y轴 (7)焦点 F1(0，－c)，F2(0，c) (8)焦距 2c＝2 (9)离心率 (10)渐近线方程 y＝±x 自查自纠 1．(1)绝对值 ＜ 焦点 焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线 充要 垂直 2．(2)－＝1(a＞0，b＞0) (5)A1(0，－a)，A2(0，a) (7)F1(－c，0)，F2(c，0) (9)e＝(e＞1) (10)y＝±x (2015·福建)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) A．11 B．9 C．5 D．3 解：根据双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)，故选B. 与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是( ) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 解：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)． 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为双曲线过点P(2，1)， 所以－＝1，又a2＋b2＝3， 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.故选B. 若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. B．5 C. D．2 解：由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2.所以e2＝＝5，所以e＝.故选A. (2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是_____． 解：易知a2＝7，b2＝3，则c2＝a2＋b2＝7＋3＝10，即c＝，则焦距2c＝2.故填2. (2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为_____． 解：易知离心率e＝，由正弦定理得 e＝＝＝＝.故填. 类型一 双曲线的定义及标准方程 (1)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解：因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a＝2，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.故选A. (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解：由双曲线的方程得a＝1，c＝， 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B. (3)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_____． 解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B. 根据两圆外切的条件， 有|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点M到两定点C1、C2的距离 ... ...
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