2019届高三第一次统考数学试题（文科） 参考答案 一、选择题：（每小题5分,共60分） 1~5BACDA 6~10DBCBD 11~12CC 二、填空题：（每小题5分,共20分） 13、 14、 15、 16、 三、解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由及正弦定理得 从而 即 又中, ∴.……………………6分 （Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得……………………8分 再由余弦定理,及 得 ∴的面积.……………………12分 18、（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直, ∴, ∵矩形菱形, ∴平面, ∵平面, ∴,……………………3分 ∵菱形中,,为的中点． ∴,……………………5分 ∵, ∴平面．……………………6分 （Ⅱ）解：∵矩形, ∴、到平面的距离相等, 从而……………………9分 由（Ⅰ）可知平面,故 ∵,则, ∴.………12分 19【解析】（1）由表中数据知，，，……2分 ∴，……3分 ，……4分 ∴所求回归直线方程为．……5分 （2）由（1）知，令，则人．……7分 （3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为，，，，4月份的驾驶员编号分別为，．从这6人中任选两人包含以下基本事件，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件；……10分 其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，……11分 ∴所求概率为．……12分 20、（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：设直线方程为：代入椭圆并整理得： 设,则.……………………3分 从而 所以直线 、的斜率互为相反数. …………………… 6分 （Ⅱ）设的左顶点和下顶点分别为、,则直线、、为互相平行的直线,所以、两点到直线的距离等于两平行线、间的距离. ……………………9分 ,又点在第一象限, 所以当时,四边形的面积取得最大值为.……………………12分 21、（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ） 令,,所以在上单调递减,, 即,所以在上单调递增,则 所以.………………………4分 （Ⅱ）对一切恒成立, 令,, 所以为上的增函数,又,,所以在上存在唯一的零点,令为,则………………………7分 由（Ⅰ）知当时, 所以,………………………9分 在（Ⅰ）中令得当时,,所以………………………11分 所以 所以最大的整数为14．………………………12分 请考生在22~23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ） 当时,取得最大值,此时的极坐标为．……………………… 5分 （Ⅱ）由,得 ∴ 将代入并整理得：, …………………8分 由的几何意义得．………………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为,所以, 当时,, ∴; 当时,； 当时,, ∴； 综上所述：．………………………5分 （Ⅱ）∵,……………………… 7分 又∵（当且仅当时取等号）,………………………9分 ∴,故的最大值为,（当且仅当时取等号）．………………………10分 ... ...
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