解答题满分练 解答题满分练1 1.如图，已知直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB. (1)求证：AB⊥DE； (2)在线段EA上是否存在点F，使得EC∥平面FBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (1)证明 取AB的中点O，连结OE，OD. 因为EB＝EA，所以OE⊥AB. 因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC， 所以四边形OBCD为正方形， 所以AB⊥OD. 又OD∩OE＝O，OE，OD?平面EOD， 所以AB⊥平面EOD， 又DE?平面EOD， 所以AB⊥DE. (2)解 连结CA交BD于点M，由AB∥CD可得＝＝. 假设线段EA上存在点F， 使得EC∥平面FBD，又平面ACE∩平面FBD＝FM， 故EC∥FM， 从而＝＝，故＝， 所以当＝时，EC∥平面FBD. 2.(2018·江苏省常州市三校联考)已知a＝， b＝( ω>0)，函数f(x)＝a·b，函数f(x)的最小正周期为2π. (1)求函数f(x)的表达式； (2)设θ∈，且f＝＋，求cos θ的值. 解 (1)f(x)＝a·b＝－sin ωx ＝ －2sin， ∵为函数f(x)的最小正周期为2π， ∴＝2π， 解得ω＝1. ∴f(x)＝－2sin . (2) 由f(θ)＝＋， 得sin＝－. ∵θ∈ ∴θ－∈， ∴cos＝， ∴cos θ＝cos ＝coscos－sinsin ＝×－×＝. 3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时， y取得最大值？ 解 (1)扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)， ∴θ＝(0b>0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点.当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点Q满足： QB1⊥PB1, QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值. (1)解 设P. 在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝3，从而b＝3. 由得＋＝1. ∴x0＝－. ∵PB1＝＝， ∴4＝·，解得a2＝18. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明 设P(x0，y0)，Q(x1，y1). 方法一 直线PB1的斜率为＝， 由QB1⊥PB1，则直线QB1的斜率为＝－. 于是直线QB1的方程为y＝－x＋3. 同理， QB2的方程为y＝－x－3. 联立两直线方程，消去y，得x1＝. ∵P在椭圆＋＝1上， ∴＋＝1，从而y－9＝－. ∴x1＝－. ∴＝＝2. 方法二 设直线PB1, PB2的斜率为k, k′，则直线PB1的方程为y＝kx＋3. 由QB1⊥PB1，直线QB1的方程为y＝－x＋3. 将y＝kx＋3代入＋＝1， 得x2＋12kx＝0， ∵P是椭圆上异于点B1, B2的点， ∴x0≠0，从而x0＝－. ∵P在椭圆＋＝1上， ∴＋＝1，从而y－9＝－. ∴k·k′＝·＝＝－，得k′＝－. 由QB2⊥PB2，得直线QB2的方程为y＝2kx－3. 联立得x＝，即x1＝. ∴＝＝＝2. 5.设函数f(x)＝x－asin x(a>0). (1)若函数y＝f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围； (2)设a＝，g(x)＝f(x)＋bln x＋1， g′(x)是g(x)的导函数. ①若对任意的x>0，g′(x)>0，求证：存在x0，使g(x0)<0； ②若g(x1)＝g(x2) (x1≠x2)，求证： x1x2<4b2. (1)解 由题意，得 f′＝1－acos x≥0对x∈R恒 ... ...
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