【七年级奥数】第25讲 同余（例题+练习）

第25讲 同余———例题 一、第25讲同 余 1.如果今天是星期日，那么253天后是星期几? 【答案】解：大家都知道，如果今天是星期日，那么每7天后，又是星期日．因为253 1(mod7)，(即253÷7余1)，所以253天后是星期一．在这类问题中，除数(模)7是“周期”，253÷7的商并不重要，重要的是余数1． 【解析】【分析】根据除数7是周期，用253除以7得出的余数即可得出答案. 2.伸出你的右手，从大拇指开始往下数，1，2，3，4，5，数到小指再往回数(如图)，数到大拇指又往回数，如此继续进行下去，问数到2004是在哪-个手指? 【答案】解：从任一个手指开始往下数，每数8个数又回到这个手指，所以8就是“周期”． ∴2004÷8=250……4， 因此数到2004是在无名指． 【解析】【分析】这类“周而复始”的问题，关键是找出周期，然后求出整数周期外还剩余多少． 3.2017年的元旦是星期日，在这以后的第 天是星期几? 【答案】解：1993 5 -2(mod7)， 19933 (-2)3=-8 -1(mod7)， ??? 19936 (-1)2=1(mod7)． ??? 因此应当计算19991997被6除，所得的余数．因为 1999 1(mod6)， ? 所以19991997 1(mod6)， ??? 19931 5(mod7)． ??? 因此这一天是星期五． 【解析】【分析】因为19936 1(mod 7)，所以19936k 1(mod 7)，只需求出19991997 ?(mod 6)．这种使an 1(modm)的n是很有用的．可以证明只要a不是7的倍数，一定有a6 1(mod 7)． 4.证明：31980+41981被5整除． 【答案】证明：∵32=9 -1(mod 5)，4 ≡-1(mod 5)． ∴ 34 (-1)2=1(mod 5)． ∴31980+41981 (34)495+(-1)1981 1+(-1) 0(mod 5)． 【解析】【分析】先分别求出9=32 ， 4被5整除的余数，从而得出原式被5整除的余数为0即可得证． 5.设x为整数，证明：x2 0或1(mod 4)． 【答案】证明：如果x是偶数，那么x2被4整除，即x2 0(mod 4)．如果x是奇数，那么可设x=2n+1，其中n为整数，???∴ x2=(2n+1)2=4n2+4n+1 1(mod 4)． 【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①若x是偶数，②若x是奇数，再分别计算即可得证. 6.整数的平方称为平方数．证明??? 11，111，1111，…中没有平方数． 【答案】证明：因为100是4的倍数，所以 3 11 111 1111 …(mod 4)． ∴11，111，1111，…都不是平方数. 【解析】【分析】根同余的性质即可得证. 7.证明不定方程 ??? 2x2-5y2=7??? ①无整数解． 【答案】证明：假设①有整数解．因为7是奇数，所以①式左边也应当是奇数，从而y是奇数． ? 在①的两边mod 4得 ??? 2x2-5y2 -1(mod 4)．??? ② ??? 由y2 1(mod 4)，所以②即 ??? 2x2 0(mod 4)，??? ③ 从而x必为偶数． ??? 在①的两边mod 8．因为2x2 0(mod 8)，所以 ??? 3y2 7(mod 8)．?? ?④ ??? 因为y是奇数，设y=2n+1，则 ??? y2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1． ??? n与n+1中有一个为偶数，4n(n+1)被8整除，所以 y2 1(mod 8)，??? ⑤ ??? 3y2 3(mod 8)．??? ⑥ ??? ④与⑥矛盾．因此①无整数解． 【解析】【分析】 先判断奇偶性，即mod2．然后mod 4，最后mod 8．步步深入．为了产生矛盾，我们常常选择不同的模．用质数及其幂为模最为常见． 第25讲 同余———练习题 一、第25讲同 余（练习题部分） 1.有没有自然数n，满足n2与n对于模30同余?这样的自然数有多少个? 2.若在十进制中，m= ，其中 ， …， 为m的数字， 证明m + +…+a2+a1(mod 9)． 3.设A=20012002 ， B是A的数字和，C是B的数字和，D是C的数字和．求D． 4.求证：15|172013-2． 5.求证：11|102013+232015 ． 6.设a为正整数．证明a5 a(mod 10)． 7.证明对任意整数a，10|a2049-a2013 ． 8.正整数x除以3余2，除以4余1．求x除以12的余数． 9.五位数 被72整除，求数字x与y． 10.求正整数n，使得(n+1)|(n2014+2006)． 11.求2999的末两位数字． 12.求15+25+35+…+20135除以4所得余数． ... ...