2019备战高考数学全国真题精练（2014-2018）第6章 第5节 数学归纳法

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2014-2018） 第6章 第5节 数学归纳法 （学生版） 备战基础·零风险 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝ 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有 都成立． 数学归纳法的框图表示 备战方法·巧解题 规律 方法 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 3. (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． 4. 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化． 5. “归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应 小结 1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法． 2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法． 3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写． 备战练习·固基石 一、单选题 1.对于不等式 某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n=1时，，不等式成立。(2)假设当n=k()时，不等式成立，即,则当n=k+1时， ， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A.?过程全部正确??? ?? ?B.?n＝1验得不正确?????? C.?归纳假设不正确??? ???D.?从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 2.在应用数学归纳法证明凸n变形的对角线为条时，第一步检验n等于（　） A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0 3.已知 ，则f(k+1)= （?? ） A.??????????????????????????????????????????????????B.?C.?????????????????? ???D.? 4.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证n等于（?? ） A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0 5.某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　) A.?当n＝6时该命题不成立???????????????????????????????????????B.?当n＝6时该命题成立C.?当n＝4时该命题不成立???????????????????????????????????????D.?当n＝4时该命题成立 6.用数学归纳法证明1+2+3+...+2n =2n-1+22n-1 时,假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项数是（?? ） A.?1项???? ... ...