2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第7章 第7节 第二课时 立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018） 第7章 第7节 第二课时 立体几何中的向量方法(二)———证明空间角与距离（学生版） 备战基础·零风险 1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题． 2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 . . 求法 . . 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β.则sin θ＝|cos β|＝ . 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝ .. (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝ .，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 利用空间向量求距离(供选用) 两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝ . 点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝ . 备战方法·巧解题 规律 方法 1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算． 2．两种关系 一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角． 二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补. 3. 本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β＝. 4. (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想． (2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量． 5.(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． (2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|＝.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 小结 1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算． (1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向　　　　　　　　　　　　　　　　　　 向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos|. (2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cos|. (3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝或π－. 2．(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同． (2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点. 备战练习·固基石 一、单选题 1.正方体 ， 棱长为2，点到截面的距离为(???? ) A.????????????????????????????????????????B.????? ... ...