2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第7章 第7节 第一课时 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018） 第7章 第7节 第一课时 立体几何中的向量方法(一)———求平行与垂直 （学生版） 备战基础·零风险 1．理解直线的方向向量及平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 直线的方向向量 l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意 也是直线l的方向向量． 平面的法向量可利用方程组求出 设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 。 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2. l1∥l2 n1∥n2? 。 l1⊥l2 n1⊥n2? 。 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m? 。 l⊥α n∥m? 。 平面α，β的法向量分别为n，m. α∥β n∥m? 。 α⊥β n⊥m? 。 备战方法·巧解题 规律 方法 1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异．否则易造成解题不严谨． 2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外 3. (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 4. (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键． (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 5. 立体几何开放性问题求解方法有以下两种： (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论； (2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解． 小结 1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想． 2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题． 3．运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 备战练习·固基石 一、解答题 1.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点 （1）证明：PE⊥BC （2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． 2.如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ∥ ， 为 的中点. （1）求证： ∥平面 ； （2）求证： 平面 . 3.如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点， ， 求证： P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心． 4.如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，点 为棱 的中 ... ...