2018_2019学年高中数学新人教B版选修4_5第三章数学归纳法与贝努利不等式学案（4份）

3.1.1　数学归纳法原理 / 1.理解归纳法和数学归纳法原理. 2.会用数学归纳法证明有关问题. / 自学导引 1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法. 2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n取初始值n0时命题成立； (2)假设当n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法. 基础自测 1.设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. C.＋ D.－ 解析　f(n)＝＋＋＋…＋ f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋ ∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，选D. 答案　D 2.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是(　　) A.2k＋1 B. C.2(2k＋1) D. 解析　n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1). n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1). ∴增乘的代数式是＝2(2k＋1)，选C. 答案　C 3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_____. 解析　a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2. 答案　an＝n2 / 知识点1　利用数学归纳法证明等式 【例1】 通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的结果，并加以证明. －1＋3＝_____；－1＋3－5＝_____； －1＋3－5＋7＝_____；－1＋3－5＋7－9＝_____. 解　上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5， 由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即 －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk 当n＝k＋1时， －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1) ＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1) ＝(－1)k＋1(k＋1). 即n＝k＋1时，命题成立. 由(1)(2)知，命题对于n∈N*都成立. ●反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. / 1.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立. (2)假设当n＝k (k≥1)时命题成立，即 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立. 【例2】 证明＋＋＋…＋＋＝1－(其中n∈N*)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？ 证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝. ∴当n＝1时，等式成立. (2)假设当n＝k (k≥1)时，等式成立，即 ＋＋＋…＋＋＝1－， 那么当n＝k＋1时， 左边＝＋＋＋…＋＋＋ ＝＝1－＝右边. 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立. 解　不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子＋＋＋…＋＋＋的和，而没有利用“归纳假设”. 正确的证明如下： (1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立. (2)假设当n＝k (k∈N*，k≥2)时，等式成立，就是 ＋＋＋…＋＋＝1－， 那么当n＝k＋1时， 左边＝＋＋＋…＋＋＋ ＝1－＋＝1－＝1－＝右边. 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立. ●反思感悟：在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n＝k时的命题，作为必 ... ...