2018_2019学年高中数学新人教B版选修4_5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法学案（10份）

1.1.1　不等式的基本性质 1.了解不等关系与不等式. 2.掌握不等式的性质. 3.会用不等式的性质解决一些简单问题. 自学导引 1.对于任何两个实数a，b， a>b?a－b>0； ab?bb，b>c?a>c； (3)加(减)：a>b?a＋c>b＋c； (4)乘(除)：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?acb>0?an>bn，n∈N*且n≥2； (6)开方：a>b>0?>，n∈N*且n≥2； (7)a>b，c>d?a＋c>b＋d； (8)a>b>0，c>d>0?ac>bd. 基础自测 1.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　) A.a2>a>－a2>－a B.－a>a2>－a2>a C.－a>a2>a>－a2 D.a2>－a>a>－a2 解析　由a2＋a<0知a≠0，故有a<－a2<0，0b>0，c B.< C.> D.< 解析　思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证. 思路二：根据不等式的性质直接推导. 方法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 则＝－1，＝－1，排除选项C，D； 又＝－，＝－，所以<，所以选项A错误，选项B正确.故选B. 方法二：因为c－d>0， 所以>>0. 又a>b>0，所以>，所以<，故选B. 答案　B 3.设x∈R，则与的大小关系是_____. 解析　当x＝0时，＝0<， 当x≠0时，＝， ∴＋x2≥2，∴≤(当x＝±1时取等号)， 综上所述≤. 答案　≤ 知识点1　不等式的性质及应用 【例1】 判断下列各题的对错 (1)<且c>0?a>b(　　) (2)a>b且c>d?ac>bd(　　) (3)a>b>0且c>d>0? > (　　) (4)>?a>b(　　) 解析　(1)?<， 当a<0，b>0时，此式成立， 推不出a>b，∴(1)错. (2)当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错. (3)?>>0? > 成立.∴(3)对. (4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ ●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定. 1.有以下四个条件： ①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0. 其中能使<成立的有_____个条件. 解析　①b>0>a，∴<0<，结论成立； ②0>a>b，∴<，结论成立； ③a>0>b，∴>，结论不成立； ④a>b>0，∴<，结论成立. 答案　3 知识点2　实数大小的比较 【例2】 实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试比较x，y，z的大小. 解　x2－2x＋y＝z－1?z－y＝(x－1)2≥0?z≥y； x＋y2＋1＝0?y－x＝y2＋y＋1 ＝＋>0?y>x，故z≥y>x. ●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是： (1)作差. (2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法. (3)定号，即确定差的符号. (4)下结论. 2.已知－1－a2，即A>B， >，即C>D， 又∵A－C＝1＋a2－＝<0，∴A0， ∴C>A>B>D. 知识点3　不等式的证明 【例3】 如果a>b>0，c. 证明　∵c－d>0， 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. 不等式的两边同乘>0，得：>>0， 又∵f<0，∴<，即>. ●反思感悟：利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归. 3.已知a0 ?ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz 同理ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz ax＋by＋cz>cx＋by＋az故结论成立. 课堂小结 1.不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“ ... ...