星期一 (三角) 2019年____月____日 【题目1】 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若在△ABC中f(A)＋f(B)＝0，∠C＝，求的值． 解 (1)f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由f(A)＋f(B)＝0得 2sin＋2sin＝0， 即sin＋sin＝0. 整理得sin＝0， 又由A∈得2A－∈， ∴2A－＝0或2A－＝π，解得A＝或A＝π， ∴由正弦定理＝＝或. 星期二 (立体几何) 2019年____月____日 【题目2】 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上，且MF＝2EM. (1)求证：AM∥平面BDF； (2)求直线AM与平面BEF所成角的余弦值． (1)证明 在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°， ∴四边形ABCD是等腰梯形， 且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°， ∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC. 又∵AC＝BD＝a，∴AB＝2a. 设AC∩BD＝N，则∠NBC＝∠NBA＝30°， 由角平分线定理知＝＝2.连接FN， 则AN∥MF且AN＝MF， ∴四边形AMFN是平行四边形，∴AM∥NF， 又NF?平面BDF，AM?平面BDF，∴AM∥平面BDF. (2)解 法一 由题知AC∥EF，∴点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H， ∵AC⊥CF，AC⊥BC，BC∩CF＝C，∴AC⊥平面BCF，即EF⊥平面BCF，又CH?平面BCF，∴CH⊥EF， 又∵CH⊥BF，EF∩BF＝F，∴CH⊥平面BEF. 在Rt△BCF中，CH＝a， 在△AEM中，AM＝＝a， ∴直线AM与平面BEF所成角的正弦值为＝， 即直线AM与平面BEF所成角的余弦值为. 法二 以C为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(a，0，0)，B(0，a，0)，F(0，0，a)，E(a，0，a)， M，∴＝(－a，0，0)，＝(0，－a，a)， 设平面BEF的法向量为m＝(x，y，z)， ∴ 取y＝1，则有m＝(0，1，1)．又＝， ∴cos〈，m〉＝＝＝， 即直线AM与平面BEF所成角的正弦值为， 故直线AM与平面BEF所成角的余弦值为. 星期三 (数列) 2019年____月____日 【题目3】 已知等差数列{an}的公差d>0，其前n项和为Sn，且a2＋a4＝8，a3，a5，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝＋n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为a2＋a4＝8， 则a3＝4，即a1＋2d＝4，① 因为a3，a5，a8为等比数列，则a＝a3a8， 即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简得：a1＝2d，② 联立①和②得：a1＝2，d＝1.所以an＝n＋1. (2)因为bn＝＋n＝＋n ＝＋n. 所以Tn＝＋＋＋…＋ ＝ ＋(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋＝＋. 星期四 (解析几何) 2019年____月____日 【题目4】 已知抛物线C1 ：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点．C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向． (1)求C2的方程； (2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率． 解 (1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.① 又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.② 联立①，②得a2＝9，b2＝8. 故C2的方程为＋＝1. (2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． 因与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4， 于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1. 由得x2－4kx－4＝0. 而x1，x2是这个方程的两根， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④ 由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0. 而x3，x4是这个方程的两根， 所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤ 将④，⑤代入③，得16(k2＋1) ＝＋， 即16(k2＋1)＝， 所以(9＋8k2) ... ...
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