备考2019中考数学高频考点剖析专题24 平面几何之直线与圆的位置关系问题（原卷+解析卷）

备考2019中考数学高频考点剖析 专题二十四 平面几何之与圆的位置关系问题 考点扫描聚焦中考 与圆的位置关系，是每年中考的必考重点内容之一，重点考查的知识点包括切线的性质和切线的判定两方面，总体来看，难度系数中等，以选择填空为主。解析题重点进行证明为主。结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行与圆的位置关系问题的探讨： （1）切线的性质； （2）切线的判定； （3）涉及圆与直线位置关系的综合问题． 考点剖析典型例题 例1（2018·浙江舟山·3分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ???） A.?点在圆内? B.?点在圆上 C.?点在圆心上? D.?点在圆上或圆内 【考点】点与圆的位置关系，反证法 【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的情况。 【解析】【解答】解：点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内故答案为D【点评】本题考查了反证法的掌握情况. 运用反证法证明要考虑到反面所有的情况。 例2（2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）若MB=BE=1，求CD的长度． 【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似； （2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD． 【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB是⊙M的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE ∴∠CBD=∠A ∴△ABE∽△BCD （2）解：过点G作GH⊥BC于H ∵MB=BE=1 ∴AB=2 ∴AE= 由（1）根据面积法 AB?BE=BG?AE ∴BG= 由勾股定理： AG=，GE= ∵GH∥AB ∴ ∴ ∴GH= 又∵GH∥AB ① 同理：② ①+②，得 ∴ ∴CD= 【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形． 例3（2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长． 【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线； （2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可． 【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM为⊙O的切线； （2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5， 而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G， 而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴==，即==， ∴CE=4，EF=， ∴MF=ME﹣EF=6﹣=． 例4（2018?广安?9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D． （1）求证：∠PCA=∠ABC． （2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长 【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理 ... ...