第21讲 不等式选讲 / 1.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围. [试做] /命题角度 含绝对值的不等式的解法 含绝对值不等式的解题策略: 关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论; 关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解. 2.[2017·全国卷Ⅱ] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. [试做] /命题角度 不等式的证明 不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式. 3.[2016·全国卷Ⅲ] 已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. [试做] /命题角度 关于含绝对值不等式的恒成立问题 解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为: ①f(x)>a恒成立?f(x)min>a ; ②f(x)
a有解?f(x)max>a; ④f(x)a无解?f(x)max≤a; ⑥f(x)0. (1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. [听课笔记] 【考场点拨】 高考常考的含有绝对值的不等式的解法: (1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进行讨论. (2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用. (3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的部分构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题. 【自我检测】 已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|. (1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集; (2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含/ 3 4 ,2/,求实数m的取值范围. /解答2不等式的证明 /2 已知函数f(x)=|x+1|-|x-4|. (1)若f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围; (2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0 时,证明:a2+b2+c2≥ 1 2 . [听课笔记] 【考场点拨】 高考中不等式证明的关注点: 不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比较法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝. 【自我检测】 已知函数f(x)=|x-1|+|x-5|. (1)解关于x的不等式f(x)>6; (2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b,c 都是正实数,且 1 ?? + 1 2?? + 1 3?? = ?? ... ... 
