第17讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 1.[2017·全国卷Ⅰ] 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点. [试做]? ? ? 2.[2017·全国卷Ⅲ] 在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由. (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. ? ? 3.[2016·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. (1)求|OH||ON|. (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由. [试做]? ? ? 命题角度 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 (1)求解圆锥曲线中定值问题的基本思路: ①从特殊元素入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)求解圆锥曲线中定点问题的基本思路: ①假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点; ②从特殊位置入手,找出定点,再证明该点满足题意. (3)存在性问题的求解方法:先假设存在,在假设存在的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明假设成立,否则说明假设不成立. 解答1定点问题 1 已知抛物线C:x2=2y,直线l:y=x-2,设P为直线l上的动点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B. (1)当点P在y轴上时,求线段AB的长; (2)求证:直线AB恒过定点. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点:(1)分清问题中哪些是定的,哪些是变动的;(2)注意“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去;(3)“先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明确的方向. 【自我检测】 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,Ma4,b为焦点坐标是12,0的抛物线上一点,H为直线y=-a上一点,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,且A,B,H三点的连线可以构成三角形. (1)求椭圆C的方程; (2)直线HA,HB与椭圆C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点. ? ? 解答2定值问题 2 已知椭圆E:x24+y23=1,点A,B,C都在椭圆E上,O为坐标原点,D为AB中点,且CO=2OD. (1)若点C的坐标为1,32,求直线AB的方程; (2)求证:△ABC的面积为定值. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 【自我检测】 已知抛物线E:y2=2px(p>0),直线x=my+3与E交于A,B两点,且OA·OB=6,其中O为坐标原点. (1)求抛物线E的方程; (2)已知点C的坐标为(-3,0),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:1k12+1k22-2m2为定值. ? ? 解答3存在性问题 3 已知点A(0,-1),B(0,1),P为椭圆C:x22+y2=1上异于点A,B的任意一点. (1)求证:直线PA,PB的斜率之积为-12. (2)是否存在过点Q(-2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,使得|BM|=|BN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 存在性问题的求解策略:(1)若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律;(2)若只给出条件,求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论. 【自我检测】 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形, ... ...
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