2018-2019学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 无穷等比数列9、-3、1，- 1 3 、……，各项的和为（　　） A. ? 27 4 B. 27 4 C. 27 D. ? 1 9 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为△ABC的重心，则 ???? =（　　） A. 1 3 ???? + 1 3 ???? B. 2 3 ???? + 2 3 ???? C. 1 2 ???? + 1 2 ???? D. 1 4 ???? + 1 4 ???? 已知直角坐标系xOy平面上的直线 ?? ?? + ?? ?? =1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足（　　） A. ??>0，??>0 B. ??>0，??<0 C. ??<0，??>0 D. ??<0，??<0 已知 ?? ， ?? ， ?? 是平面向量， ?? 是单位向量．若非零向量 ?? 与 ?? 的夹角为 ?? 3 ，向量 ?? 满足 ?? 2 -4 ?? ? ?? +3=0，则| ?? - ?? |的最小值是（　　） A. 3 ?1 B. 3 +1 C. 2 D. 2? 3 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 求值： ??→∞ ?????? 5??+2 3??+2 =_____． 已知向量 ?? =（k，1）与 ?? =（2，k+1）平行，则实数k=_____． 已知点M（0．b）与点N（- 3 ，1）连成直线的倾斜角为120°，则b=_____． 已知| ?? |=1，| ?? |=2，向量 ?? 与 ?? 的夹角为60°，则| ?? + ?? |=_____． 直线l1：x-y+1=0与直线l2：x-y+5=0之间的距离是_____． 已知 ?? =（2，-1）， ?? =（3，4），则 ?? 在 ?? 的方向上的投影为_____． 过点A（1，6）且与直线 ??+1 7 = ??+2 5 垂直的直线的点法向式方程为_____． 已知A（-1，4）、B（3，2），如果点H是线段AB的两个三等分点中距离A较近的那个三等分点，则点H的坐标是_____． 直线y=k（x+3）-2与直线y=- 1 4 x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是_____． 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，当 ???? ? ???? 取到最小值时，DE的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，共58.0分） 设{an}是首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列，前n项和为Sn，求 ??→∞ ?????? ?? ?? ?? ??+1 值． 已知向量 ?? =（ 3 ，1）， ?? =（0，1）．（1）（ ?? +k ?? ）⊥（ ?? -k ?? ），求实数k的值；（2）向量2k ?? +7 ?? 与向量 ?? +k ?? 的夹角大于90°，求实数k的取值范围． 已知直线l的方程为3x+4y-12=0，分别求满足下列条件的直线l′的一般式方程．（1）过点（1，2）且与l的夹角为45°；（2）l'为l绕原点逆时针旋转90°后得到的直线． 设P1P2…P2018是半径为l的圆O内接正2018边形，M是圆上的动点．（1）求| ?? 1 ?? 2 + ?? 2 ?? 3 + ?? 3 ?? 4 +…+ ?? 2017 ?? 2018 - ?? 1 ?? |的取值范围；（2）求证： ?? ?? 1 2+ ?? ?? 2 2+…+ ?? ?? 2018 2为定值，并求出该定值． 已知射线OA：y=kx（k＞0，x＞0），OB：y=-kx（x＞0），动点P（x，y）在∠AOx的内部，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，四边形OMPN的面积恰为k．（1）求点M的坐标（用点P的横坐标x、点P的纵坐标y及k表示）；（2）当k为定值时，求动点P的纵坐标y关于横坐标x的函数y=f（x）的解析式． 答案和解析 1.【答案】B【解析】 解：等比数列9、-3、1，-、……，可得公比为，前n项和为：．无穷等比数列9、-3、1，-、……，各项的和为：==．故选：B．求出等比数列的前n项和，然后求解极限即可．本题考查数列求和以及数列的极限的运算．是基本知识的考查． 2.【答案】A【解析】 解：因为E为△ABC的重心，所以==?（+）=+，故选：A．根据重心的性质以及平行四边形法则可得．本题考查了重心的性质以及向量的平行四边形法则．属基础题． 3.【答案】A【解析】 解：坐标系xOy平面上的直线+=1经过第一、第二和第四象限，如图所示；则a＞0，b＞0．故选：A．根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题． 4.【答案】A【解析】 解：由-4?+3=0，得 ... ...