2018-2019学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学试题（理科）参考答案 一、选择题 D C B A B D D B A D B C 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17. 解：，当，可求.………………………………1分 ① 可得② ②-①得 即 …………………………………3分 所以为以4为首项，2为公比的等比数列，. ……………………5分 （2）因为， ……………………………6分 所以…………………………8分 所以 = =.………………………………………………………………12分 18. 解：（1） …………………………………3分 令，解得，. 所以递增区间是. …………………………………6分 （2）， 即 ， ，由，得 ……………………………………8分 在中，,,,，即 ,,， ……………………………………10分 ，为正三角形， ,， . ……………………………12分 19.（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，平面，所以DE⊥AC，………1分 因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又， 所以AC⊥平面BDE． ………………………3分 因为，所以平面ACE⊥平面BDE. ………………………4分 （2）解：取的中点，连接，则. 以为坐标原点，分别以所在的方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz． …5分 因为平面，所以即为BE与平面ABCD所成的角，即∠DBE=60°，因此． …………6分 设菱形的边长为，可知. 则，，， ， 所以，．……………9分 设平面的法向量为，则，即． 令，则． …………………………10分 而平面的一个法向量 所以 设平面与底面所成的角为，为锐角，所以. 因此，平面与底面所成角的余弦值为. ………12分 20. 解：（1）当时，最小，因为， 所以， …………………………2分 又点在椭圆上， 所以，， ………………………… 3分 所以椭圆的方程为； …………………4分 （2）设点坐标分别为，直线的方程为， 联立得， ……………6分 ，且， …………7分 因为， 所以 ， ……………11分 即直线的斜率与的斜率互为相反数， 所以直线与的倾斜角互补. …………12分 21. 解：（1）由题意可知，的定义域为， ， ………………………………………1分 令，函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在上有两个零点， ， ………………………3分 当时，在上，单调递减，不满足题意； 当时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减， ………………………5分 要使在上有两个零点，只需，即， 解得，故的取值范围为. ………………………6分 （2）由（1）可知，，， 两式相减可得：， ①………………7分 要证明，只需证明 即证明 ② …………9分 把①代入②并整理可得：，即 ……10分 令，即证明， ………………11分 令，则，当时，，函数在上单调递减， 所以，所以，命题得证. ………………12分 22. 解：（1）曲线:,， 即. ………………………2分 直线：，即 ………………………4分 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：， ,得，即…………………6分 由已知得：,即 …………………8分 …………………………………………………………………………10分 23. 解：（1）由已知得： 当时，，即， ………2分 当时，，即， ………………4分 综上，. ………………5分 ， ………………7分 ， …………………………9分 令 则，当且仅当时取等号. 因此. ………………………10分 ... ...
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