昌平区2018－2019学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准（理科） 2019.1 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B C A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 10.； 11. 12. （答案不唯一） 13. 14. ； 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分） 解: 因为的面积为, 所以 ，所以 ． 因为 中，为锐角， 所以. …………6分 （II）在中，由余弦定理， ，所以． 由正弦定理 , 所以 . 所以. ……13分 （16）（本小题满分14分） 证明：(Ⅰ) 在五面体中，因为四边形是矩形， 所以. 因为,, 所以. 因为 所以. ………4分 (Ⅱ) 取的中点，的中点,连接 因为四边形是矩形,所以. 因为,是的中点，所以,且. 因为平面⊥平面，平面平面， 所以平面. 如图，建立空间直角坐标系,依题意得. 所以，平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则 , 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………9分 (Ⅲ) 由 得. 设平面的法向量为，则有 即 令则. 因为平面的法向量为, 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ……14分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是， 满意的客户人数， 故所求概率为． …… 4分 （Ⅱ）. 设事件为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”， 事件为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件. 根据题意，估计为0.5，估计为0.2 . 则; ; . 的分布列为 的期望 . …… 11分 （Ⅲ）． …… 13分 （18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知 解得 故椭圆的标准方程为 . …… 5分 （Ⅱ）依题意，直线的方程为. 联立方程组消去并整理得. , 设、，故，, 设的中点为，则. 因为线段的垂直平分线与轴交于点， ① 当时，那么； ② 当时，，即 . 解得 因为所以，，即. 综上，的取值范围为. …… 13分 （19）（本小题满分13分） 解：函数的定义域为. （I）时，,, ，且. 所以曲线在点处的切线方程为 ，即.…… 5分 （II）若恒成立，即恒成立． 设，只要即可； ． ①当时，令，得. 变化情况如下表： ↗ 极大值 ↘ 所以，故满足题意. ②当时，令，得（舍）或； 变化情况如下表： ↗ 极大值 ↘ 所以，令，得. ③当时，存在满足，所以不能恒成立，所以不满足题意. 综上，实数的取值范围为. …… 13分 （20）（本小题满分14分） 解：（I） ， . 因为，且对于任意，， 所以. …… 4分 （II）对于任意，，有， 所以对于任意，，有，即数列为单调递增数列. 因为对于任意，存在，使， 所以┅┅． 因为，，所以对于任意，有，，，所以，当时，有， 即， ， ， ………… ， 所以当时， 有， 所以. 又，， 数列的通项公式为：. …… 10分 （III）若，，有， 令，，解得，即， 得，其中表示不超过的最大整数， 所以. =， 依题意， ， 即， . 当时，即时，，不合题意； 当时，即时，，不合题意； 当时，即时，，不合题意； 当时，即时，，不合题意； 当时，即时，，不合题意； 当时，即时， 由 此时，. 而时，.所以. 又当时，； 所以. 综上所述，符合题意的的最小值为 …… 14分 昌平区2018－2019学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（理科） 2019.1 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) （1）若集合，，则 A． B． C． D． （2）设满足 那么的最大值为 A． B． C． D． （3） ... ...
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