九江市2019年第一次高考模拟统一考试 数学（理科） 参考答案及评分标准 一、选择题 1.B 解:，，.故选B. 2.C 解:设(),则，，, ，故选C. 3.B 解:,,,化简得, .故选B. 4.C 解:由图可知，甲的众数是，乙的中位数是与的平均数，，，故选C. 5.D 解:设，联立方程组，得，则 又直线经过的焦点，则，故选D. 6.A 解:为奇函数，故排除B，又，且.故选A. 7.D 解:为的重心，，即 ，，故选D. 8.C 解:由三视图知，该几何体为半圆锥，正面三角形面积为；背面展开为 扇形，其弧长为，半径为，则其面积为； 底面为半圆，其面积为，该几何体的表面积为，故选C. 9.A 解:由①得，当时，②，①-②得：，故 数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，则 ，故选A. 10.A 解:设里面两个半圆的半径分别为，，则最大的半圆的半径为，最大半圆的面积，阴影部分的图形面积，依题意得，即，化简得，解得或,又，或，则阴影部分的周长，则，故选A. 11.D 解：由双曲线的定义知， ，， 又成等差数列，， ，，由知，， 解得，，， 由，得，，即，故选D. 12.B 解:，令，则 ，当时，，当时，，在 上单调递增，在上单调递减，的最大值为，则.故选B. 二、填空题 13.. 解:如图，作出可行域，当直线平移至 经过点时，取得最大值. 14. . 解: ,, ,,. 15. . 解:展开式的通项为，的系数为. 16. . 解:如图,光线从点射出通过两次镜面反射到达点， 其路径应该在平面内，设光线在平面和平面 内的反射点分别，由图可知，， ，，， ，该光线所经过的路径长为. 三、解答题 17. 解:(Ⅰ)令，则， 由余弦定理得………2分 ………4分 ………6分 (Ⅱ)，由正弦定理知，又， ………8分 故，………10分 ，当且仅当时取等号，， 即的最小值为………12分 18. 解: (Ⅰ)，，，， ，，在中，由余弦定理得 ，……2分 ，，………3分 又，，即，………4分 又平面，，平面………5分 又平面，平面平面………6分 (Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系，则,,, ………7分 设为平面的法向量，则………9分 又，………11分 设直线与平面所成角为的，则………12分 19. 解:(Ⅰ)设椭圆的左焦点为，关于原点对称，四边形为平行四边形，，………2分 又椭圆的离心率，，则………4分 椭圆的标准方程为………5分 (Ⅱ)设，则，且，………6分 ………10分 ，………12分 20. 解:(Ⅰ)由，知， 又，………2分 两边取对数得，令，则，即…4分 当时，，此时， 当气温为时，预计该月的平均降水量为………6分 (Ⅱ)分析两地的降水量柱状图，可知地区的月降水量的波动（方差）较大，地区的月降水量的波动（方差）较小，对应地，对应地………9分 由知，，由， 知，即地区月降水量超过的概率为………12分 21. 解:(Ⅰ)证明：点与的中点为，在图像上，满足条件① ………1分 又点与的连线斜率为………2分 曲线在点处的切线斜率为，即连线垂直于切线，故满足条件②， 点与关于曲线对称………4分 (Ⅱ)设，，则的中点为，根据条件①，得，，即③ ………5分 根据条件②，，，即， 化简得④………7分 将④式代入③式得，令，则方程等价于，即在上有解………8分 ，令，则………9分 当时，，当时，………10分 在单调递增，在单调递减， ，，故实数的取值范围是………12分 22. 解: (Ⅰ)将的极坐标方程化为直角坐标系中的 普通方程：，即………2分 又，则………4分 曲线的直角坐标方程为………5分 (Ⅱ)依题意得曲线是过点，倾斜角为的直线………6分 设，若与相切，则满足到的距离为，即，解得，(舍去)………8分 当曲线经过点时，其斜率………9分 根据图形可知，当时,与有两个公共点，即的取值范围是 ………10分 23.解:(Ⅰ)当时，不等式………1分 当时，不等式变形为，显然成立，即………2分 当时，不等式变形为，解得………3分 当时，不等式为，显然不 ... ...
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